So sánh lãi đơn và lãi kép

I, Đặt vấn đề

Hầu như bất kỳ một sinh viên nào (ít nhất thuộc khối ngành kinh tế) đều đã từng được làm quen với khái niệm lãi đơn và lãi kép.Hiểu đơn giản đó là giả sử ta gửi tiết kiệm 1,000$ vào ngân hàng vào ngày hôm nay, đến khi ta rút số tiền đó ra thì hẳn nhiên sẽ là một số tiền lớn hơn 1,000$ ban đầu bao gồm tiền gốc 1,000$ và lãi từ 1,000$ đô đó. (phần lãi này có thể hiểu nôm na, xem như là chi phí cơ hội hoặc cũng có thể coi là chi phí sử dụng vốn mà ngân hàng trả cho chúng ta, ở đây chúng ta đang trong vai trò người đầu tư, người cho vay và ngân hàng là người đi vay – mục đích là huy động vốn, họ sẽ dùng số tiền đó để tái đầu tư và thu lại được một khoản lợi nhuận khác… Tương tự trong các tình huống khác, chứ không nhất thiết là gửi tiết kiệm).

Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản là phần lãi sẽ chỉ tính từ vốn gốc ban đầu, trong khi lãi kép cứ sau mỗi một kỳ sẽ được cộng dồn phần lãi với phần gốc rồi tính lãi dựa trên phần tính lãi mới đó. Câu hỏi đặt ra là ta nên tính theo loại lãi nào để thu được lợi ích lớn nhất? ( Mặc dù trong thực tế lãi kép được sử dụng phổ biến chứ không phải là lãi đơn)

Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa lãi đơn và lãi kép trong ngắn hạn cũng như dài hạn trong bài viết này để làm rõ đối với mức thời gian đáo hạn nào thì sử dụng loại lãi nào sẽ mang lại lớn ích lớn hơn. Mặc dù đây không phải là một tính chất quan trọng của Toán Tài Chính (quan trọng ở đây được hiểu theo nghĩa là nó có những ứng dụng đáng kể trong lĩnh vực này) nhưng nó là một tính chất rất cơ bản mà người học nhập môn TTC nên biết. Đây cũng là lời giải của mình cho một bài tập trên lớp, môn Toán Tài Chính 1 – Đại học Kinh tế Tp HCM.

Trước hết ta nhắc lại công thức tính của 2 loại lãi suất này.

Công thức tính lãi đơn như sau: \displaystyle A_1 = X(1 + t \times i)

Công thức tính lãi kép như sau: \displaystyle A_2 = X(1 + i)^t

Trong đó:

  • \displaystyle X là khoản tiền bỏ ra đầu tư (ví dụ như một khoản tiền gửi ngân hàng – deposit).
  •  \displaystyle i là mức lãi suất thoả thuận.
  •  \displaystyle t là thời gian nhận lại khoản tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi.

Các biến này có miền xác định như sau: \displaystyle X,i,t \in \mathbb{R^+} hay \displaystyle X,i,t \in (0;+\infty)

Câu hỏi đặt ra là giá trị của \displaystyle A_1\displaystyle A_2 sẽ có quan hệ như thế nào với thời gian nhận lại khoản tiền đầu tư t.

\displaystyle \triangledown

II. Một số lời giải

Ta xét hai khoảng thời gian để so sánh \displaystyle A_1\displaystyle A_2. Dễ thấy trong ngắn hạn (dưới 1 năm) thì \displaystyle 0<t<1, trong dài hạn (trên một năm) thì \displaystyle t>1. Hiển nhiên khi \displaystyle t=1 thì \displaystyle A_1=A_2. Do \displaystyle X>0 nên để so sánh \displaystyle A_1\displaystyle A_2 ta chỉ cần xét hàm sau là đủ:

\displaystyle f(i,t)=(1 + i)^t-(1 + t \times i)

Cố định biến \displaystyle t ta xét đạo hàm hàm \displaystyle f(i,t) theo \displaystyle i khi đó: (Điều này hiệu quả hơn là nếu cố định \displaystyle i và lấy đạo hàm theo \displaystyle t khi đó lời giải sẽ khó hơn nhiều vì đạo hàm của hàm mũ khá phức tạp)

\displaystyle f(i,t)=f(i)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}    f'(i)=t(1+i)^{t-1}-t    \\    f''(i)=t(t-1)(1+i)^{t-2}    \end{matrix}\right.

Ta xét hai trường hợp sau:

\displaystyle \triangleright Trường hợp 1: Nếu \displaystyle t>1 khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)>0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm đồng biến. Mặt khác lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)>f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm đồng biến vì vậy

\displaystyle f(i)>f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2>A_1

\displaystyle \triangleright Trường hợp 2: Nếu \displaystyle 0<t<1 hoàn toàn tương tự với trường hợp 1, khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)<0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm nghịch biến. Lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)<f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm nghịch biến vì vậy

\displaystyle f(i)<f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2<A_1

\displaystyle \triangledown

Ngoài cách sử dụng đạo hàm ta có thể sử dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange để giải như sau:

Định lý giá trị trung bình

Cho \displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R} là một hàm liên tục trên \displaystyle [a,b] và khả vi trên \displaystyle (a,b). Khi đó tồn tại \displaystyle c\in (a,b) sao cho:

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

Quay trở lại bài toán: Ta xét hàm \displaystyle f(k)=(1+k)^t với \displaystyle k\in (0,i)\displaystyle i>0. Theo định lý giá trị trung bình thì tồn tại một số \displaystyle c \in (0,i) sao cho:

\displaystyle \frac{f(i)-f(0)}{i-0}=f'(c) \iff \frac{(1+i)^t-1}{i}=t\times(1+c)^{t-1}

\displaystyle \Rightarrow(1+i)^t-1=i\times t\times(1+c)^{t-1}>t\times i \Rightarrow (1+i)^t>1+t\times i

Điều trên đúng là do với \displaystyle t>1\displaystyle c>0 thì dễ thấy

\displaystyle (1+c)^{t-1}>1 \iff (t-1)\times \ln{(1+c)}>\ln{1}=0

Hiển nhiên đúng do hàm logarit nêpe \displaystyle \ln{x} đồng biến với mọi \displaystyle x>1.

Trường hợp \displaystyle 0<t<1 chứng minh hoàn toàn tương tự.

\displaystyle \triangledown

III. Kết luận:

Như vậy trong ngắn hạn nếu sử dụng lãi suất đơn thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi kép) còn trong dài hạn thì sử dụng lãi suất kép thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi đơn).

About these ads

Posted on Tháng Tám 1, 2012, in Nhập môn Toán Tài Chính. Bookmark the permalink. 2 phản hồi.

  1. uhm đúng rùi minh đang định gửi 6 tr vào ngân hàng nhưng thời hạn gửi chỉ 5 tháng mình muốn lấy ra dùng mà mình cũng đinh gửi góp tiêt kiêm hàng thang vao 500 nghìn nữa thi quyết định gửi lãi đơn hay lãi kép nhỉ

    • Cảm ơn bạn đã quan tâm. Vấn đề mà bạn nói liên quan tới ngân hàng bởi vì lãi suất thanh toán kiểu gì thì do 2 bên thoả thuận (hoặc NH tự mặc định cho các loại tiền gửi của Khách hàng?). Vấn đề so sánh lãi đơn và lãi kép ở trên chỉ ra là trong dài hạn nếu khoản tiền gửi sử dụng lãi kép thì sẽ thu về đc vốn và lãi lớn hơn so vs dùng lãi đơn (về mặt toán học còn về thực tế dùng loại lãi nào để tính lãi suất là do ngân hàng và người dùng quyết định thậm chí mặc định).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 28 other followers

%d bloggers like this: