Tiếp cận ban đầu trong ước lượng độ đo rủi ro

ImageBài viết sau đây sẽ là tiếp nối của chuỗi bài viết về độ đo rủi ro, chúng ta sẽ làm việc với 2 vấn đề cơ bản đó là làm rõ định nghĩa về mặt toán học của độ đo rủi ro trong đó chú trọng vào vấn đề thế nào là một độ đo rủi ro Coherent (có thể tạm dịch là độ đo rủi ro “nhất quán” hoặc “chặt chẽ”) và những giả định quen thuộc xung quanh việc ước tính VaR.

I, Khái niệm về độ đo rủi ro.

Chúng ta mô hình sự bất định của thị trường Tài chính bởi không gian xác suất \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P). Gọi M là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn (hầu chắc chắn) trong không gian xác suất \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P) nêu trên. \displaystyle K là một tập con của \displaystyle M. Các nhà đầu tư tham gia thị trường tài chính thông qua việc nắm giữ các danh mục danh mục đầu tư. Rủi ro tài chính của việc nắm giữ danh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hoá bởi biến ngẫu nhiên \displaystyle X\in K

Một độ đo rủi ra được định nghĩa là một ánh xạ từ một tập hợp các biến ngẫu nhiên tới tập các số thực \displaystyle R.

Định nghĩa: Ánh xạ \displaystyle p: K\to \mathbb{R} gọi là độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ \displaystyle X có mức rủi ro ro \displaystyle p(X). Liên hệ với thực tiễn, trong quản trị rủi ro \displaystyle p(X) có thể là một khoản dự phòng, khoản thế chấp, vốn dự trữ,…

Độ đo rủi ro giúp nhà đầu tư đo lường được mức độ rủi ro mà họ sẽ phải gánh chịu trong thời gian nắm giữ danh mục. Tuy nhiên một độ đo rủi ro như thế nào thì cung cấp cho nhà đầu tư một nguồn có cơ sở hay đáng tin cậy để thực hiện công tác quản trị rủi ro? Dưới đây chúng ta sẽ trình bày về độ đo rủi ro Coherent (độ đo rủi ro nhất quán).

 II, Độ đo rủi ro Coherent

Các độ đo rủi ro Coherent (một số tài liệu dịch là các độ đo rủi ro nhất quán hoặc các độ đo rủi ro chặt chẽ) thoả mãn các tính chất sau

a, Bất biến theo phép tịnh tiến (Translation Invariance): Với mọi \displaystyle X\in K, a\in \mathbb{R} khi đó:

\displaystyle p(X+a)=p(X)-a

b, Cộng tính dưới (Subadditivity): Với mọi \displaystyle X_1,X_2 \in K khi đó:

\displaystyle p(X_1+X_2)\le p(X_1)+p(X_2)

c, Thuần nhất dương (Homogeneity): Với mọi \displaystyle X\in K, b>0 ta có:

\displaystyle p(b.X)=b.p(X)

d, Đơn điệu tăng (Monotonicity): Với mọi \displaystyle X_1,X_2 \in K\displaystyle X_1\le X_2 (hầu chắc chắn) khi đó:

\displaystyle p(X_1)\le p(X_2)

Ý nghĩa của các tính chất này được giải thích như sau:

a, Tính chất bất biến theo phép tính tiến: Với danh mục có độ đo rủi ro \displaystyle p(X) khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị \displaystyle a thì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn \displaystyle p(X)-a

b, Tính chất cộng tính dưới : Rủi ro của danh mục gồm nhiều yếu tố rủi ro ở đây là \displaystyle (X_1+X_2) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với tổng rủi ro của các yếu tố rủi ro thành phần. Tính chất này phù hợp với lý thuyết đa dạng hoá danh mục đầu tư (diversification), nhà đầu tư không nên bỏ trứng vào 1 rổ mà phải phân bổ vào nhiều nơi khác nhau.

c, Tính chất thuần nhất dương: Đối với những danh mục có quy mô càng lớn thì độ rủi ro càng cao.

d, Tính chất đơn điệu tăng: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao.

III, Một số giả định xung quanh việc ước tính VaR:

Thông thường để thiết lập một mô hình Tài chính cần có các giả định đầu vào (input factors), đối với việc tính toán VaR chúng ta cũng cần có những giả định (assumption). Chúng ta sẽ làm quen với một số giả định thông dụng trong các mô hình tính toán VaR tham số, đối với các phương pháp tiếp cận VaR phi tham số sẽ có những đặc điểm khác mà ta sẽ bàn ở các mục sau.

1, Bước ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên \displaystyle Y được định nghĩa là một bước ngẫu nhiên (Random walk) nếu \displaystyle Y được biểu diễn:

\displaystyle Y_t=Y_{t-1}+u_t

Trong đó \displaystyle Y_i biểu thị giá trị của \displaystyle Y tại mốc thời gian \displaystyle i\displaystyle u_i là nhiễu trắng (có trung bình bằng 0, phương sai không đổi và hiệp phương sai bằng 0). Điều đó có nghĩa là:

\displaystyle E(u_i)=0

\displaystyle Var(u_i)=const

Khi đó theo tính chất của kỳ vọng ta có:

\displaystyle E(Y_t)=E(Y_{t-1})+E(u_t)=E(Y_{t-1})

\displaystyle \iff E(Y_t)=E(Y_{t-1})

\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1})=0

\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1}|\mathcal F_{t-1})=0

Điều đó có nghĩa là quá trình ngẫu nhiên \displaystyle \{Y_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\} là một Martingale. Với giả định này, chúng ta xem rằng giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ của chúng.

2, Tính dừng: Một chuỗi được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không thay đổi theo thời gian. Điều này có nghĩa là phân phối xác suất của chuỗi là không thay đổi theo thời gian. Có như vậy thì chúng ta mới thực hiện việc dự báo giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên dựa trên phân phối xác suất của nó trong một khoảng thời gian nhất định được.

3, Giá trị tài sản không âm: Giá trị của tài sản tài chính, ví dụ như giá chứng khoản, tỷ giá,… được giả sử là không âm (\displaystyle \ge 0) tại mọi thời điểm.

4, Thời gian cố định: Với giá định này, chúng ta coi rằng điều gì đúng cho một giai đoạn thì cũng đúng cho nhiều giai đoạn khác. Ví dụ như ta xem xét sự đúng đắn trong vòng 1 tuần thì cũng có thể mở rộng thành 1 tháng, hoặc 1 năm,… Chúng ta có công thức mở rộng sau:

\displaystyle VaR(T,\alpha)=VaR(1, \alpha)\times \sqrt{T}

Trong đó \displaystyle T viết tắt của \displaystyle T ngày và \displaystyle 1 có nghĩa là 1 ngày. Như vậy khoảng thời gian càng lớn thì giá trị VaR càng tăng lên.

5, Phân phối chuẩn: Phân phối chuẩn (Normal Distribution) nắm giữ 1 vai trò quan trọng trong Tài chính, đây là giả thiết không chỉ của các mô hình phân tích VaR mà còn rất nhiều mô hình khác nữa. Với giả thiết này để ước lượng VaR người ta giả sử rằng chuỗi Tỷ suất sinh lợi của Tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, ngoại trừ một số phương pháp tiếp cận VaR phi tham số như mô phỏng Monte Carlo thì giả thiết này không cần thiết. Giả thiết này giúp cho quá trình tính toán VaR trở nên đơn giản hơn thông qua định lý về phân phối chuẩn đa biến, tuy nhiên ngày nay, các chuỗi lợi suất của tài sản Tài chính không phải lúc nào cũng tuân theo phân phối chuẩn và từ đó dẫn đến những ước lượng không chính xác về VaR. Để giải quyết vấn đề về phân phối biên duyên (marginal distribution) của mô hình đa biến thì công cụ Copula trong lý thuyết xác suất-thống kê là 1 sự lựa chọn đang được áp dụng trên thế giới. Vấn đề này sẽ tiếp tục được đề cập trong phần tiếp theo.

Các khái niệm xung quanh Value At Risk

Đã khá lâu rồi mình không có thời gian cập nhật Blog do một số vấn đề cá nhân. Trong thời gian sắp tới Blog Toán Tài Chính sẽ trình bày một loạt bài viết liên quan tới các độ đo rủi ro trong quản trị rủi ro Tài chính. Những khái niệm như Value At Risk, Expected Shortfall và hàm nối Copula (1 công cụ mới dùng trong việc xác định các độ đo rủi ro nhưng hầu như chưa được phổ biến trong các tài liệu tiếng Việt) sẽ được đề cập theo một cách tiếp cận trực quan, dễ hiểu thay vì các lý thuyết thuần toán học phức tạp.

Chủ đề của bài viết này đó là các khái niệm xung quanh Value At Risk. Với các ứng dụng trong việc tính toán các ngưỡng rủi ro của danh mục đầu tư cũng như tính toán lượng vốn yêu cầu trong hệ thống các tổ chức Tài chính.

 

I, Tản mạn về Value At Risk

Trong tiêu chuẩn Basel dùng để tính toán các lượng vốn quy định trong hệ thống ngân hàng, khái niệm Value at Risk đã được nhắc tới như là một công cụ được khuyến cáo để tính toán các lượng vốn theo quy định đó. Vậy rốt cuộc Value at Risk là gì?  Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với các khái niệm cơ bản xung quanh Value At Risk (tạm dịch: giá trị chịu rủi ro, viết tắt: VaR). Trước khi đi vào bản chất toán học của khái niệm này chúng ta sẽ cùng hình dung bằng một số ví dụ sau:

Trong hoạt động của Ngân hàng ngoài các hoạt động cần tới sự lưu động của dòng tiền thì Ngân hàng cũng sẽ phải có một lượng dự trữ vốn nhất định vì nhiều lý do, do pháp luật quy định hoặc với các mục đích khác. Trong các mục đích đó việc dự trữ một lượng vốn để khi có những biến cố bất thường xảy ra chẳng hạn như việc kinh doanh gặp một khoản lỗ lớn khi đó Ngân hàng phải sử dụng số tiền dự trữ để giải quyết hậu quả do biến cố này gây ra. Thực tế, trước khi những độ đo rủi ro được áp dụng tại các Ngân hàng trên thế giới theo tiêu chuẩn Basel thì rất nhiều ngân hàng đã sụp đổ do không có đủ lượng vốn dự trữ cần thiết để chi trả cho khách hàng trong trường hợp họ phải chịu những khoản lỗ khổng lồ do biến động bất thường của thị trường.

Với độ đo rủi ro VaR, ngân hàng sẽ tính toán lượng dữ trữ vốn tối tiểu cần phải trong một mức độ tin cậy cố định (thông thường là 99% hoặc 95%) và trong một khoảng thời gian nhất định (ví dự như 1 ngày, 1 tuần,…) để có thể phòng ngừa những trường hợp xấu gây phá sản sao cho lượng vốn dữ trữ đó là đủ để ngân hàng sử dụng trong trường hợp bất thường xảy ra cũng như không dự trữ quá dư thừa dẫn đến nguồn vốn không thể lưu thông vào hoạt động kinh doanh dẫn đến giảm lợi nhuận. Đây là một ví dụ rất tiêu biểu để minh hoạ cho công dụng của VaR và nó cũng là một vấn đề thời sự thường được biết dưới cái tên “quản trị nguồn vốn kinh tế” (Managing Economic Capital) tập trung chủ yếu vào việc đo lường rủi ro tổng hợp (Risk aggregation) và phân bổ nguồn vốn kinh tế hợp lý (Economic Capital Allocation) .

Ví dụ thứ 2 cũng có phần tương tự ví dụ trên nhưng ở một trường hợp cụ thể hơn. Nhà đầu tư nắm giữ một danh mục chứng khoán đang niêm yết trên sàn HOSE. Ngoài việc tính toán tỷ trọng tối ưu cho rỗ chứng khoán của mình sao cho tối đa hoá lợi nhuận, họ phải xem xét các yếu tố khác như việc với danh mục đó thì khả năng thua lỗ trong 1 ngày là bao nhiêu và họ cần đầu tư như thế nào để nếu rủi ro thua lỗ xảy ra họ vẫn đủ vốn dự trữ để kiểm soát tình hình. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra khả năng thua lỗ trong 1 ngày có thể là bao nhiêu? Giả sử số tiền đầu tư là 1 tỷ VND. Nếu nói có thể mất toàn bộ số tiền đầu tư thì ai cũng có thể nói được, đương nhiên điều này hiếm khi xảy ra (nhưng không phải không thể xảy ra!!!). Câu trả lời hợp lý nhất có thể là một con số cụ thể, ví dụ như 250 triệu VDN với độ tin cậy 99%. Đó chính là ví dụ về VaR.

Ứng dụng của VaR không chỉ dừng lại ở đó mà còn nhiều lĩnh vực khác nữa tuy nhiên trong phạm vi bài viết này, chúng ta sẽ tập trung chính vào việc định nghĩa VaR cho danh mục đầu tư gồm các tài sản tài chính quen thuộc ví dụ như cổ phiếu. Đối với những sản phẩm tài chính phức tạp hơn như danh mục kết hợp giữa cổ phiếu và các sản phẩm phái sinh sẽ được đề cập trong các bài viết về sau.

II, Định nghĩa về VaR

Giả sử nhà đầu tư nắm giữ mô hình gồm n cổ phiếu. Đặt \displaystyle P_t là giá trị của danh mục tại thời điểm \displaystyle t. Từ đó suy ra sau một khoảng thời gian \displaystyle \Delta t tại thời điểm \displaystyle g=t+\Delta t giá trị của danh mục sẽ là \displaystyle P_g.

Từ khoảng thời gian từ thời điểm \displaystyle t đến \displaystyle g giá trị của danh mục đã thay đổi một khoản trị giá \displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t. Ta có \displaystyle P_t là một giá trị ngẫu nhiên suy ra \displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t cũng là một biến ngẫu nhiên. Gọi \displaystyle F là hàm phân phối xác suất của \displaystyle \Delta P_g. Khi đó với mức ý nghĩa cho trước \displaystyle \alpha\in (0,1) ta xem xét xác suất:

\displaystyle P(\Delta P_g<x_{\alpha})=\alpha

Giá trị \displaystyle x_{\alpha} là phân vị mức \displaystyle \alpha của hàm phân bố \displaystyle F, ngưỡng giá trị âm này chính là VaR.

Ta có định nghĩa về VaR như sau: Value At Risk là một thước đo rủi ro thị trường. Nó là một khoản lỗ tối đa mà doanh nghiệp có khả năng gặp phải tương ứng với một mức độ tin cậy và một khoảng thời gian cho trước.

Như vậy VaR của một danh mục tương ứng với chu kỳ \displaystyle g và độ tin cậy \displaystyle \gamma=1-\alpha là mức phân vị \displaystyle \alpha của hàm phân bố \displaystyle F. Ta ký hiệu là \displaystyle VaR_{g,\alpha}. Biểu diễn bằng công thức xác suất là:

\displaystyle P(\Delta P_g<VaR_{g,\alpha})=\alpha

Có thể hiểu công thức trên một cách trực quan như sau: Ví dụ \displaystyle \alpha=5\% khi đó khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ không vượt quá \displaystyle VaR_{g,\alpha} (khoản lỗ tối đa) trong khoảng thời gian \displaystyle g\displaystyle 95\%. Hoặc cũng có thể nói khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ lớn hơn \displaystyle VaR_{g,\alpha} (khoản lỗ tối thiểu) trong khoảng thời gian \displaystyle g\displaystyle 5\%. Chú ý rằng trong trường hợp này ta coi \displaystyle VaR<0 (thực chất tuỳ theo cách biểu diễn mà VaR nhận giá trị âm hay dương tuy nhiên để thống nhất trong suốt phần còn lại của loạt bài viết về độ đo rủi ro này, chúng ta xem VaR là một số âm, biểu diễn một khoản lỗ tiềm năng).

Ví dụ ta tính toán được \displaystyle VaR=-1, giả sử khoản lỗ \displaystyle L_1=-0.5\displaystyle L_2=-2. Khi đó với \displaystyle \alpha=5\%\displaystyle g=1 ta có thể biểu diễn:

\displaystyle P(L_1>VaR_{1,\alpha})=95\% \iff P(L_1>-1)=95\%

Mặt khác \displaystyle L_2=-2<VaR ta cũng có thể biểu diễn:

\displaystyle P(L_2<VaR_{1,\alpha})=5\% \iff P(L_2<-1)=5\%

Var1

Ta quay lại ví dụ này và xét ở một góc độ tổng quát hơn. Đặt \displaystyle r_i là tỷ suất sinh lợi (TSSL) của 1 tài sản tài chính. Hãy xem biểu đồ ở trên và hình dung như sau:

Trường hợp \displaystyle r_i<VaR<0 có nghĩa là khả năng để nhà đầu tư chịu lỗ vượt quá VaR sẽ là mức ý nghĩa \displaystyle \alpha ví dụ như là \displaystyle 5\%, thuộc phần đuôi bên trái của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối thiểu ứng với mức ý nghĩa \displaystyle \alpha. Ta biểu diễn bằng công thức xác suất:

\displaystyle P(r_i<VaR_{t,\alpha})=\alpha

Trường hợp \displaystyle VaR<r_i khi đó khả năng nhà đầu tư chịu lỗ hoặc hưởng lợi nhuận sẽ là độ tin cậy \displaystyle (1-\alpha) ví dụ như là \displaystyle (1-5\%)=95\% tính từ mức phân vị từ VaR tới phần đuôi bên phải của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối đa ứng với độ tin cậy \displaystyle 1-\alpha.Ta có thể biểu diễn bằng công thức xác suất:

\displaystyle P(r_i>VaR_{t,\alpha})=1-\alpha

Việc xem xét và biểu diễn dưới dạng xác suất VaR còn tuỳ thuộc vào vai trò của VaR đang thể hiện mức lời lỗ hay là chi phí hoặc là bất kỳ một đại lượng đo lường nào khác… trong trường hợp ta muốn tính chi phí tối thiểu cho một dự án nào đó việc biểu diễn theo công thức xác suất cũng sẽ có thể thay đổi. Vì vậy không nên cố hữu trong suy nghĩ là VaR luôn là một khoản lỗ tối đa hay tối thiểu, là một số âm hay số dương… hãy phân biệt một cách linh hoạt tuỳ từng tình huống.

Ở các bài viết tiếp theo chúng ta sẽ trình bày rõ hơn về các cách tính toán VaR trên một danh mục đầu tư và các giả định của các mô hình đó lường đó.

Các kỳ thi Actuary

Trong blog này có rất nhiều thông tin liên quan tới Toán Tài Chính và đặc biệt có thể các bạn đã thấy qua cụm từ “Actuary”. Nhưng đã bao giờ bạn tự hỏi: “Làm thế nào để trở thành Actuary?”. Bài viết này sẽ dành để giải đáp một cách khái quát câu hỏi đó từ kinh nghiệm của 1 số Actuary trên thế giới và qua tìm hiểu của bản thân mình về kỳ thi Actuary được tổ chức bởi Canadian Institute of Actuaries (CIA), Casualty Actuarial Society (CAS) và Society of Actuaries (SOA).

Thông tin tham khảo từ website http://www.beanactuary.org/

Các câu hỏi được đề cập trong bài viết này:

1, Actuary là gì?

2, Làm sao để trở thành một Actuary? Các kiến thức cần thiết mà một Actuary cần đến?

3, Cấu trúc/ Cấp độ của một kỳ thi Actuary là gì?

4, Làm sao để tham dự kỳ thi Actuary? (Nếu bạn ở Việt Nam cũng như trên thế giới)

1,  Actuary là gì?

An actuary is a business professional who analyzes the financial consequences of risk. Actuaries use mathematics, statistics and financial theory to study uncertain future events, especially those of concern to insurance and pension programs. They evaluate the likelihood of those events, design creative ways to reduce the likelihood and decrease the impact of adverse events that actually do occur. Actuaries are an important part of the management team of the companies that employ them. Their work requires a combination of strong analytical skills, business knowledge and understanding of human behavior to design and manage programs that control risk.

Actuary là những chuyên gia làm việc trong lĩnh vực kinh tế chuyên phân tích những hệ quả tài chính do rủi ro gây ra. Actuary sử dụng toán học, thống kê và lý thuyết tài chính để nghiên cứu về các biến cố (event) không chắc chắn trong tương lai, đặc biệt những biến cố liên quan đến lĩnh vực bảo hiểm và các chương trình về quỹ (pension programs). Họ ước lượng khả năng xảy ra của các biến cố này từ đó thiết kế những giải pháp sáng tạo để giảm thiểu khả năng xảy ra cũng như giảm thiểu tác động của các biến cố xấu chắc chắn xảy ra. Các chuyên gia Actuary là một phần quan trọng trong đội ngũ quản lý của các công ty mà họ làm việc. Công việc của một Actuary đòi hỏi một sự tổng hợp kỹ năng phân tích sắc bén, kiến thức kinh tế và sự hiểu biết về hành vi của con người để thiết kế và quản lý các chương trình quản trị rủi ro.

3, Chứng chỉ Actuary do SOA/CAS cấp chia thành 8 kỳ thi  với nhiều mức độ :

Cấp độ 1: SOA gọi là Exam P còn CAS gọi là Exam 1: Đây là kỳ thi kiểm tra về Xác suất (Probability), nội dung xoay quanh việc tính xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên,… Đề thi dưới dạng trắc nghiệm 30 câu làm trong vòng 3 tiếng thông qua hệ thống máy tính (CBT). Mục tiêu của bài thi này đó là phát triển kiến thức của ứng viên về các công cụ xác suất cơ bản trong việc đánh giá định lượng rủi ro. Những ứng dụng các các công cụ này trong các vấn đề thường gặp trong actuarial science được nhấn mạnh trong kỳ thi. Một sự chuẩn bị kỹ lượng để hỗ trợ việc tính toán cùng với đó là kiến thức cơ bản về bảo hiểm và rủi ro là những kỹ năng cần thiết mà ứng viên dự thi phải có.

Probability Exam

The Probability Exam is a three–hour multiple–choice examination. It is called Exam P by the Society of Actuaries and Exam 1 by the Casualty Actuarial Society. The Probability Exam is offered via computer–based testing (CBT).

The syllabus for the Probability Exam develops the candidate’s knowledge of the fundamental probability tools for quantitatively assessing risk. The application of these tools to problems encountered in actuarial science is emphasized. A thorough command of the supporting calculus is assumed. Additionally, a very basic knowledge of insurance and risk management is assumed.

 

Cấp độ 2: Exam FM (SOA) hay Exam 2 (CAS) đây là kỳ thi về Toán Tài Chính (Financial Mathematics), nội dung xoay quanh các lý thuyết về lãi suất, dòng tiền, … Đề thi dưới dạng trắc nghiệm nhiều đáp án trong vòng 3 tiếng thông qua hệ thống máy tính (CBT). Tài liệu của kỳ thi này phát triển sự nhận biết của ứng viên về các khái niệm của toán tài chính và cách các khái niệm này được ứng dụng trong việc tính toán giá trị hiện tại và các giá trị tích luỹ cho các dạng khác nhau của dòng tiền, tạo một nền tảng cơ bản cho các kỹ năng sẽ được sử dụng trong tương lai: dự trữ, định giá, quản trị tải sản/nợ phải trả, thu nhập đầu tư, quản trị ngân sách vốn và định giá các dòng tiền tiềm tàng (contingent cash flows). Các ứng viên sẽ được giới thiệu về những công cụ tài chính, bao gồm chứng khoán phái sinh, khái niệm no–arbitrage (không-kinh doanh chênh  lệch giá) cũng như những vấn đề liên quan tới toán tài chính. Một nền tảng cơ bản về giải tích và hiểu biết cơ bản về xác suất là những kỹ năng mà ứng viên cần có.

Financial Mathematics Exam

The Financial Mathematics Exam is a three–hour multiple–choice examination. It is called Exam FM by the Society of Actuaries and Exam 2 by the Casualty Actuarial Society. The Financial Mathematics exam is offered via computer–based testing (CBT).

The syllabus for the Financial Mathematics Exam develops the candidate’s understanding of the fundamental concepts of financial mathematics and how those concepts are applied in calculating present and accumulated values for various streams of cash flows as a basis for future use in: reserving, valuation, pricing, asset/liability management, investment income, capital budgeting, and valuing contingent cash flows. The candidate will also be given an introduction to financial instruments, including derivatives, and the concept of no–arbitrage as it relates to financial mathematics. A basic knowledge of calculus and an introductory knowledge of probability is assumed.

Cấp độ 3: Chia ra làm 2 bài thi là Exam MFE (Models of Financial Economics Exam)Exam MLC (Life contingencies Exam)

Cấp độ 4: Exam C (SOA) hay Exam 4 (CAS) nội dung: Construction and Evaluation of Actuarial Models Exam  (Xây dựng và đánh giá các mô hình Actuary)

Một vài lời khuyên từ các chuyên gia:

http://math.illinoisstate.edu/krzysio/pass.html

Bài viết sẽ được cập nhật ….

Chương trình Thạc sĩ về Toán Tài Chính trên thế giới

Dưới đây là phần thông tin trích dẫn về các chương trình đào tạo Thạc sĩ về Toán Tài Chính và Tài Chính Định Lượng hay Kỹ sư Tài Chính ở các trường Đại học hàng đầu của Mỹ và các nước khác trên thế giới. Số liệu trích từ cộng đồng Quant (quantnet.com).

The 2011 Quantnet ranking is the most comprehensive ranking to date of master programs in Financial Engineering (MFE), Mathematical Finance in North America. Quantnet surveyed program administrators, hiring managers to get the information used in the 2011 ranking.

RANK UNIVERSITY PROGRAM TUITION LENGTH
1 Carnegie Mellon University
Pittsburgh, PA
Computational Finance (FT/PT) $73,800 1.5 years
2 Princeton University
Princeton, NJ
Master in Finance (FT) $77,240 2 years
3 Columbia University
New York, NY
Financial Engineering (FT) $52,992 1 year
4 New York University
New York, NY
Mathematics in Finance (FT/PT) $49,752 1.5 years
5 Baruch College, City University of New York
New York, NY
Financial Engineering (FT/PT) $32,040
$21,315 (resident)
1.5 years
6 Stanford University
Stanford, CA
Financial Mathematics (FT) $53,400 1 year
6 University of California, Berkeley
Berkeley, CA
Financial Engineering (FT) $54,950 1 year
8 Columbia University
New York, NY
Mathematics of Finance (FT/PT) $38,614 1 year
9 Cornell University
Ithaca, NY
MEng, FE concentration (FT) $61,987 1.5 years
10 Massachusetts Institute of Technology
Cambridge, MA
Master of Finance (FT) $73,800 1 year
10 University of California, Los Angeles
Los Angeles, CA
Financial Engineering (FT) $51,500 1 year
12 Rutgers University
New Brunswick, NJ
Mathematical Finance (FT/PT) $49,648
$29,052 (resident)
1.5 years
12 University of Chicago
Chicago, IL
Financial Mathematics (FT/PT) $44,892 1 year
14 Georgia Institute of Technology
Atlanta, GA
Quantitative and Computational Finance (FT/PT) $50,313
$15,561 (resident)
1.5 years
14 University of Toronto
Toronto, Canada
Mathematical Finance (FT) CAD 40,000 1 year
16 University of Michigan
Ann Arbor, MI
Financial Engineering (FT) $61,002
$32,769 (resident)
1.5 years
17 Boston University
Boston, MA
Mathematical Finance (FT/PT) $58,971 1.5 years
17 NYU-Poly
Brooklyn, NY
Financial Engineering (FT/PT) $43,446 1.5 years
19 North Carolina State University
Raleigh, NC
Financial Mathematics (FT/PT) $39,764
$15,668 (resident)
2 years
20 Claremont Graduate University
Claremont, CA
Financial Engineering (FT/PT) $75,888 1.5 years
21 Illinois Institute of Technology
Chicago, IL
Mathematical Finance (FT/PT) $49,104 2 years
22 Kent State University
Kent, OH
Financial Engineering* (FT) $32,070
$21,552 (resident)
1 year

Định nghĩa về Martingale

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa liên quan tới lý thuyết Martingale. Từ đó nhắc tới một tính chất quan trọng của chuyển động Brown mà chúng ta đã có dịp làm quen ở các bài viết trước. Mục tiêu của bài viết này chỉ là giới thiệu 1 cách đơn giản và dễ hiểu nhất về khái niệm Martingale cho nên các tính chất của nó không được đề cập nhiều.

Định nghĩa 1: [Martingale] Một quá trình ngẫu nhiên \displaystyle \{X_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\} được gọi là một Martingale đối với bộ lọc \displaystyle \{\mathcal F\} và với xác suất \displaystyle P nếu:

\displaystyle X_s=E[X_t|\mathcal F_s]

Với \displaystyle P-hầu như chắc chắn và \displaystyle \forall 0\le s<t<\infty

Khái niệm \displaystyle P-hầu như chắc chắn (P-almost surely) được hiểu như sau: Cho \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P) là một không gian xác suất. Biến cố \displaystyle K trong \displaystyle \mathcal F xảy ra gần như chắc chắn nếu \displaystyle P(K)=1, điều này tương đương với biến cố \displaystyle K xảy ra gần như chắc chắn nếu xác suất biến cố \displaystyle K không xảy ra bằng \displaystyle 0. Từ đó ta có thể hiểu rằng với một bộ lọc \displaystyle \mathcal F_t ta có thể suy ra được \displaystyle X_t với một độ đo xác suất hay \displaystyle X_t là một \displaystyle \mathcal F-đo được.

Vậy rốt cuộc ý nghĩa về mặt định tính của Martingale là gì? Ở đây chúng ta làm rõ bằng một ví dụ như sau: khi quan sát một biến ngẫu nhiên \displaystyle X_t ví dụ như là quan sát giá cổ phiếu ACB, nếu \displaystyle X_t thoả tính chất của Martingale điều đó có nghĩa là muốn dự báo sự thay đổi của \displaystyle X_t trong tương lai ta hoàn toàn không thể dự đoán được với những thông tin hiện có. Nói ngắn gọn, hướng di chuyển trong tương lai của Martingale là hoàn toàn không thể dự đoán được, mặc dù Martingale cũng có thể có những khuynh hướng tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn tuy nhiên khuynh hướng này tăng hay giảm hoàn toàn ngẫu nhiên và không có tính hệ thống. Thật vậy điều này được biểu diễn dưới dạng kỳ vọng có điều kiện như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=0

Chúng ta có thể chứng minh điều trên như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-E[X_s|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-X_s=X_s-X_s=0

Điều quan trọng là Martingale luôn được định nghĩa trên một bộ lọc (một bộ thông tin) và theo một độ đo xác suất nào đó. Dự báo tốt nhất của \displaystyle X_t tại thời điểm \displaystyle s với bộ thông tin \displaystyle \mathcal F_s chính là giá trị quan sát cuối cùng \displaystyle X_s. Ngoài ra nếu \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\ge X_s khi đó đây được coi là một quá trình tăng (submartingale), ngược lại \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\le X_s được gọi là một quá trình giảm (supermartingale).

Ví dụ trong thực tế của Martingale có thể kể đến như  việc đặt cược một cách công bằng trong các trò chơi bài bạc hoặc quan sát sự biến động của giá cổ phiếu, giá vàng, các bước đi dạo ngẫu nhiên ko có xu hướng (unbiased random walk)…

Nhắc tới Martingale chúng ta cần phải nhắc tới chuyển động Brown. Một trong những tính chất quan trọng của chuyển động Brown chính là tính chất Martingale.

Định lý 1: [Tính chất Martingale của chuyển động Brown]

Với mọi \displaystyle 0\le s\le t ta luôn có:

\displaystyle E[W(t)|\mathcal F_s]=W(s)

Hoặc có thể viết lại như sau:

\displaystyle E[W(t)-W(s)|\mathcal F_s]=0

Trong bài viết tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về sự biến động ngẫu nhiên của các tài sản tài chính.

Tài liệu về chứng khoán phái sinh

Topic này sẽ dành để giới thiệu một vài đầu sách về các công cụ tài chính (Financial Instruments) và các sản phẩm phái sinh (Derivatives). Đây là những công cụ tài chính quan trọng thường được sử dụng trong việc quản trị rủi ro và nhiều vấn đề tài chính khác. Những công cụ phái sinh này cũng là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Toán Tài Chính mà đặc biệt chính là quyền chọn Options. Định nghĩa chứng khoán phái sinh từ saga.vn

Chứng khoán phái sinh  (derivatives) là những công cụ được phát hành trên cơ sở những công cụ đã có như cổ phiếu, trái phiếu, nhằm nhiều mục tiêu khác nhau như phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận hoặc tạo lợi nhuận. Các chứng khoán phái sinh sẽ là đòn bẩy, làm tăng nhiều lần giá trị các các đối tượng đầu tư như cổ phiếu, trái phiếu, để đảm bảo rằng nếu giá của cổ phiếu, trái phiếu có thay đổi bao nhiêu thì giá của các công cụ phái sinh vẫn sẽ được duy trì ở mức ban đầu. Thị trường các chứng khoán phái sinh là thị trường phát hành và mua đi bán lại các chứng từ tài chính, như quyền mua cổ phiếu  , chứng quyền  , hợp đồng quyền chọn  . Các công cụ phái sinh rất phong phú và đa dạng, nhưng nhìn chung có bốn công cụ chính là Hợp đồng kỳ hạn  (forwards), Hợp đồng tương lai  (futures), Quyền chọn  (options) và Hợp đồng hoán đổi  (swaps).

Dưới đây là một số đầu sách về chứng khoán phái sinh:

Sách “gối đầu giường” về các sản phẩm phái sinh

Download tại links sau:

  1. All About Derivatives:  download
  2. Derivatives demystified: download
  3. Exchange traded derivatives: download
  4. Fundamentals of Financial Instruments: download
  5. Options, Futures, and Other Derivatives – 7th edition – John C. Hull download

Kỳ vọng có điều kiện

Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với một vài khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất mà quan trọng nhất là định nghĩa về kỳ vọng có điều kiện (Conditional Expectation), một trong những  định nghĩa và tính chất quan trọng để xây dựng lý thuyết về Martingale. Lưu ý Martingale (Martingale) và PDE (Partial differential equation) là 2 phương pháp tiếp cận để định giá chứng khoán phái sinh phổ biến nhất.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm trong lý thuyết xác suất liên quan tới không gian xác suất (Probability space), lọc (Filtration), kỳ vọng có điều kiện, kỳ vọng có điều kiện cho bởi \displaystyle \sigma-đại số con,… Để tìm hiểu về các khái niệm này trước hết cần hiểu các khái niệm của hàm số như ánh xạ, ảnh ngược. Trước tiên ta sẽ nhắc lại khái niệm Ánh xạ. Về mặt toán học, ánh xạ là một khái niệm khái quát của khái niệm hàm số. Về mặt ý nghĩa ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp \displaystyle X\displaystyle Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử \displaystyle x của tập \displaystyle X đều có một và chỉ một phần tử \displaystyle y \in Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau.

Định nghĩa 1: Ánh xạ \displaystyle f từ một tập hợp \displaystyle X vào một tập hợp \displaystyle Y (ký hiệu \displaystyle f:X \to Y) là một quy tắc cho mỗi phần tử \displaystyle x \in X tương ứng với một phần tử xác định \displaystyle y \in Y, phần tử \displaystyle y được gọi là ảnh của phần tử \displaystyle x, ký hiệu \displaystyle y=f(x).

Tập \displaystyle X được gọi là tập nguồn, tập \displaystyle Y được gọi là tập đích.

\displaystyle \diamond Với mỗi \displaystyle y \in Y, tập con của \displaystyle X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ \displaystyle f bằng \displaystyle y, được gọi là tạo ảnh của phần tử \displaystyle y qua \displaystyle f, kí hiệu là \displaystyle f^{-1}(y)

\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X | f(x)=y \}

\displaystyle \diamond Với mỗi tập con \displaystyle A \subset X, tập con của \displaystyle Y gồm các phần tử là ảnh của \displaystyle x \in A qua ánh xạ \displaystyle f được gọi là ảnh của tập \displaystyle A kí hiệu là \displaystyle f(A)

\displaystyle f(A)= \{y = f(x) , x \in A \}

\displaystyle \diamond Với mỗi tập con \displaystyle B \subset Y, tập con của \displaystyle X gồm các phần tử \displaystyle x có ảnh \displaystyle f(x) \in B được gọi là tạo ảnh của tập \displaystyle B kí hiệu là \displaystyle f^{-1}(B)

\displaystyle f^{-1}(B) = \{x \in X: f(x)\in B\}

Quay trở lại với lý thuyết xác suất, giả sử có một biến ngẫu nhiên \displaystyle X. Chúng ta giả sử có nhiều tình huống khác nhau có thể xảy ra và trong mỗi tình huống thì \displaystyle X sẽ nhận được một giá trị nào đó. Như vậy một biến ngẫu nhiên có thể được mô hình hoá bằng một hàm số \displaystyle X:\Omega\to \mathbb{R}. Ở đây \displaystyle \Omega là không gian đại diện cho các tình huống có thể xảy ra. Điều này hiểu theo ý nghĩa của ánh xạ thì có nghĩa là ứng với mỗi trường hợp trong tập hợp \displaystyle \Omega thì nó sẽ nhận một giá trị nào đó mà giá trị đó là một số thực.

Định nghĩa 2. Cho \displaystyle \Omega là ký hiệu của một tập hợp và \displaystyle \mathcal F ký hiệu một họ các tập con của \displaystyle \Omega. Khi đó \displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số nếu:

1. \displaystyle \varnothing \notin \mathcal F

2. \displaystyle F \in \mathcal F \Rightarrow \Omega / F \in \mathcal F

3. \displaystyle F_1, F_2,... \in \mathcal F\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} F_i \in \mathcal F

Khi đó cặp \displaystyle (\Omega,\mathcal F) là một không gian đo được.

Không gian mẫu \displaystyle \Omega là một tập không rỗng, với các phần tử thường được biết như là các “kết quả” hay “trạng thái tự nhiên” (ví dụ trạng thái sấp hay ngửa của đồng tiền,…) hay nói một cách khác là các tình huống có thể xảy ra. Một trạng thái tự nhiên luôn tồn tại với một xác suất nào đó. Một phần tử của \displaystyle \Omega thường được ký hiệu bởi \displaystyle \omega .

\displaystyle \mathcal F là một tập hợp mà các phần tử của nó được gọi là các biến cố. Các biến cố là các tập con của \displaystyle \Omega. Tập \displaystyle \mathcal F phải thỏa mãn một vài điều kiện, đặc biết nó phải là một \displaystyle \sigma-đại số. Cùng với nhau, \displaystyle \Omega\displaystyle \mathcal F tạo thành một không gian đo được. Một biến cố là một tập hợp các kết quả hay trạng thái tự nhiên mà ta có thể xác định xác suất của nó.

Một cách trực quan hơn ta định nghĩa một không gian xác suất là một bộ ba \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P), trong đó:

\displaystyle \Omega là tập không rỗng, hay còn gọi là không gian mẫu, trong đó mỗi thành viên của nó được coi là một kết quả có thể xảy ra của một thực nghiệm ngẫu nhiên. Ví dụ, nếu chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng trong các khách hàng của cửa hàng ABC và hỏi họ sẽ chọn loại nước uống nào để sử dụng, thì tập 100 khách hàng đó sẽ là không gian mẫu \displaystyle \Omega.

\displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số của các tập con của \displaystyle \Omega,các khách hàng của nó được gọi là các biến cố. Ví dụ, tập tất cả các chuỗi gồm 100 khách hàng trong đó ít nhất 70 người sẽ chọn Peppsi là sản phẩm họ muốn sử dụng được xem là biến cố rằng ít nhất 70 trong số 100 khách hàng được chọn sẽ lựa chọn Peppsi. Ta nói \displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số có nghĩa rằng, theo định nghĩa, nó chứa \displaystyle \Omega, chứa rỗng, phần bù của một biến cố bất kì là một biến cố, và hợp của một chuỗi (hữu hạn hay vô hạn đếm được) các biến cố bất kì là một biến cố.

\displaystyle P là một độ đo (cụ thể là độ đo xác suất) trên \displaystyle \mathcal F, sao cho \displaystyle P(\Omega)=1. Cần chú ý rằng \displaystyle P là hàm xác định trên \displaystyle \mathcal F chứ không phải trên \displaystyle \Omega.

Một biến ngẫu nhiên \displaystyle X là một measurable function (hàm đo được) trên \displaystyle \Omega. Ví dụ, số khách hàng sẽ lựa chọn Peppsi trong mẫu 100 người là một biến ngẫu nhiên. Nếu \displaystyle X là biến ngẫu nhiên bất kì. Ta kí hiệu \displaystyle P(X \ge 70), hay \displaystyle P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 70 \}), là xác suất của biến cố \displaystyle X \ge 70.

Định nghĩa 3:Cho \displaystyle (\Omega,\mathcal F) kỳ hiệu là một không gian đo được. Một họ các \displaystyle \sigma-đại số \displaystyle \{ \mathcal F_t|t\ge 0\}, tại đó:

\displaystyle \mathcal F_s\subseteq \mathcal F_t \subseteq \mathcal F

Với \displaystyle 0\le s\le t được gọi là một lọc trên \displaystyle (\Omega,\mathcal F)

Một lọc \displaystyle \mathcal F_t là tập hợp của tất cả các biến cố có thể thực hiện được tại \displaystyle t. Sự gia tăng kích cỡ của \displaystyle \mathcal F_t khi thời gian \displaystyle t tăng phản ánh lượng thông tin luỹ tiến theo thời gian, điều đó có nghĩa là lượng thông tin càng tăng nếu thời gian càng dài.

Ở trên chúng ta đã định nghĩa được thế nào là một biến ngẫu nhiên, thế nào là một không gian đo được và thế nào là một lọc cũng như \displaystyle \sigma-đại số con. Phần tiếp theo dưới đây, chúng ta làm quen khái niệm “kỳ vọng có điều kiện của X, theo một tập thông tin đã cho, dưới dạng một \displaystyle \sigma-đại số con \displaystyle \mathcal A của \displaystyle \mathcal F“.

Quay trở lại định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X cho bởi Y: \displaystyle E(X|Y). Chú ý rằng \displaystyle E(X|Y) là một hằng số trên mỗi tập hợp \displaystyle \{Y=y_i\} và giá trị của nó bằng giá trị trung bình của \displaystyle X trên \displaystyle \{Y=y_i\}.

\displaystyle E(X|Y)=\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)

Điều đó có nghĩa là:

\displaystyle \diamond Kỳ vọng có điều kiện là một biến ngẫu nhiên.

\displaystyle \diamond Kỳ vọng có điều kiện là một ước lượng giá trị trung bình.

Định nghĩa 4: Cho \displaystyle (\Omega,\mathcal F) kỳ hiệu là một không gian đo được. \displaystyle X:\Omega\to \mathbb{R} là một biến ngẫu nhiên. \displaystyle \mathcal A\subset \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số con. Cho biến ngẫu nhiên \displaystyle Z:\Omega\to \mathbb{R} thoả mãn các điều kiện sau:

1. \displaystyle Z\displaystyle \mathcal A-đo được: Với \displaystyle a,b\in \mathbb{R}, biến cố của Z được biểu diễn dưới dạng:

\displaystyle \{\omega|a<Z(\omega)<b\}

đã chứa trong \displaystyle \mathcal A (không chỉ đơn thuần là chứa trong \displaystyle \mathcal F).

2. Với mọi \displaystyle A\in \mathcal A khi đó:

\displaystyle E(X.I_A)=E(Z.I_A)

Khi đó ta định nghĩa: \displaystyle Z=E(X|\mathcal A) và gọi đây là kỳ vọng có điều kiện của X theo \displaystyle \mathcal A

(The conditional expectation of X with respect to \displaystyle \mathcal A)

Trong đó ta định nghĩa hàm số \displaystyle I_A là còn có tên gọi là hàm chỉ báo của \displaystyle A (Indicator Function). Hàm chỉ báo \displaystyle I_A của \displaystyle A\displaystyle I_A=1 khi \displaystyle A xảy ra và \displaystyle I_A=0 khi \displaystyle A không xảy ra.

Ta có \displaystyle \mathcal A là một trường \displaystyle \sigma-đại số hay là một \displaystyle \sigma-đại số con, khi đó \displaystyle E(X|\mathcal A) là kỳ vọng có điều kiện của X, cho bởi thông tin chứa trong \displaystyle \mathcal A. Ta vốn dĩ đã có khái niệm \displaystyle E(X|Y), vậy đối với một \displaystyle \sigma-đại số con thì vai trò của nó có gì khác biệt so với việc chỉ xét một biến ngẫu nhiên \displaystyle Y. Câu trả lời là vì một trường \displaystyle \sigma-đại số tương ứng với một lượng thông tin. Ví dụ nếu \displaystyle \mathcal A là một \displaystyle \sigma-đại số sinh bởi \displaystyle Y thì nếu ta biết thông tin về \displaystyle \mathcal A tức là ta cũng sẽ biết thông tin về \displaystyle Y. Ngoài ra \displaystyle E(X|\mathcal A) tương tự như \displaystyle E(X|Y) cũng là một biến ngẫu nhiên. Về định nghĩa sigma đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên ta có thể trình bày dưới dạng định nghĩa như sau:

Định nghĩa 5: Giả sử \displaystyle Y:\Omega\to \mathbb{R} là một biến ngẫu nhiên. Ta kỳ hiệu \displaystyle \sigma(Y) là họ tất cả các tập con của \displaystyle \Omega có dạng:

\displaystyle Y^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega: Y(\omega)=B\}

trong đó \displaystyle B là một tập Borel của \displaystyle \mathbb{R} (B\in \mathcal B(R)). Khi đó \displaystyle \sigma(Y) là một sigma đại số trên \displaystyle \Omega và ta gọi sigma đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên \displaystyle Y.

Ta quay trở lại định nghĩa 4, và tìm hiểu xem ý nghĩa của mục 4.2 là gì? Kỳ vọng có điều kiện \displaystyle E(X|Y) là một ước lượng trung bình của X trên một tập hợp nào đó, 4.2 là tổng quát của ý nghĩa đó, có nghĩa là \displaystyle E(X|\mathcal A) là một ước lượng trung bình của X trong các tập hợp thông tin của \displaystyle \mathcal A. Một câu hỏi đặt ra là ý nghĩa của \displaystyle E(X.I_A)=E(Z.I_A)? Câu hỏi này xin dành cho đọc giả trả lời. Để trả lời câu hỏi này, hãy chú ý đến 1 số tính chất quan trọng của kỳ vọng có điều kiện được chứng minh dưới đây.

Định lý 1: Cho \displaystyle X,Y là các biến ngẫu nhiên. Chứng minh rằng:

\displaystyle E(E(X|Y))=E(X)

Chứng minh: Ta có thể chứng minh như sau :

\displaystyle E(E(X|Y))=\sum_{y}E(X|Y=y).P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\left(\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)\right).P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.\frac{P[(X=x)\cap (Y=y)]}{P(Y=y)}.P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.P[(X=x)\cap (Y=y)]

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.P(Y=y|X=x).P(X=x)

\displaystyle=\sum_{x}x.P(X=x).\left(\sum_{y}P(Y=y|X=x)\right)

\displaystyle=\sum_{x}x.P(X=x)=E(X)

Điều này luôn đúng do ta có:

\displaystyle\sum_{y}P(Y=y|X=x)=1

Ngoài ra ta có định lý sau:

Định lý 2. Cho \displaystyle X,Y_i là các biến ngẫu nhiên (trong đó \displaystyle i=\bar{i,n},n>1). Chứng minh rằng:

\displaystyle E(E(X|Y_1,Y_2,...Y_n,Y_{n+1},...)|Y_1,...,Y_n)=E(X|Y_1,...,Y_n)

\displaystyle \bigtriangledown

Định lý 3. Cho \displaystyle X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Chứng minh rằng:

\displaystyle E(X|Y)=E(X)

Chứng minh: Trước hết nhắc lại bổ đề:

 Bổ đề [Quy tắc nhân của các biến cố độc lập]: Hai biến cố \displaystyle A ,B là các biến ngẫu nhiên độc lập khi và chỉ khi: \displaystyle P(A\cap B)=P(A).P(B)

Quay trở lại bài toán, từ công thức xác suất có điều kiện và bổ đề ta có:

\displaystyle P(X=x|Y=y)=\frac{P[(X=x)\cap (Y=y)]}{P(Y=y)}

\displaystyle =\frac{P(X=x).P(Y=y)}{P(Y=y)}=P(X=x)

Mặt khác lại có:

\displaystyle E(X|Y)=E(X|Y=y)=\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)

\displaystyle =\sum_{x}x.P(X=x)=E(X)

\displaystyle \bigtriangledown

Trong một số trường hợp, khi quan sát các giá trị ngẫu nhiên của biến X từ đó chúng ta muốn dự đoán giá trị của biến ngẫu nhiên thứ 2 là Y. Kỳ hiệu \displaystyle \widehat{Y}=g(X) là giá trị dự báo của Y dựa trên X, khi đó nếu giá trị quan sát của biến \displaystyle X\displaystyle x hay \displaystyle X=x thì \displaystyle g(x) là một giá trị dự báo của \displaystyle Y. Chúng ta muốn chọn hàm \displaystyle g sao cho \displaystyle g(X) gần với \displaystyle Y nhất. Dự báo “tốt nhất” của Y theo nghĩa để cho sai số bình phương trung bình \displaystyle MSE\to \min chính là \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X).

Định lý 4. Cho \displaystyle X\displaystyle Y là các biến ngẫu nhiên. Khi đó ta luôn có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]\ge E[\left(Y-E(Y|X)\right)^2]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X)

Để chứng minh định lý trên ta sử dụng 2 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Chứng minh rằng:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]=E[Y^2]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)]

Thật vậy khai triển biểu thức ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]=E[Y^2-2Y.g(X)+g^2(X)]=E[Y^2]-2E[Y.g(X)]+E[g^2(X)]

Như vậy để chứng minh bổ đề 1 thì ta chỉ cần chứng minh điều sau là đủ:

\displaystyle E[Y.g(X)]=E[g_0(X).g(X)]

Sử dụng các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

\displaystyle E[Y.g(X)]=\sum_{x}\sum_{y}Y.g(X).P(X,Y)

\displaystyle =\sum_{x}\sum_{y}Y.g(X).\left[P(X).P(Y|X)\right]=\sum_{x}g(X).P(X).\sum_{y}Y.P(Y|X)

\displaystyle =\sum_{x}P(X).\left(g(X).E[Y|X]\right)=E[g_0(X).g(X)]

Bổ đề 2: Chứng minh rằng:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]=E[Y^2]-E[g_0^2(X)]

Dễ thấy:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]=E[Y^2-2Y.g_0(X)+g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[Y.g_0(X)]+E[g_0^2(X)]

Khi đó ta có:

\displaystyle E[Y.g_0(X)]

\displaystyle =\sum_{x}\sum_{y}Y.g_0(X).P(X,Y) =\sum_{x}\sum_{y}Y.g_0(X).\left[P(X).P(Y|X)\right]

\displaystyle =\sum_{x}g_0(X).P(X).\sum_{y}Y.P(Y|X)=\sum_{x}P(X).\left(g_0(X).E[Y|X]\right)

\displaystyle =\sum_{x}P(X).\left(g_0^2(X)\right)= E[g_0^2(X)]

 Từ đó suy ra:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[Y.g_0(X)]+E[g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[g_0^2(X)]+E[g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-E[g_0^2(X)]

Quay trở lại định lý 4, dựa vào bổ đề 1 và bổ đề 2 trừ vế theo vế ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]-E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]

\displaystyle =(E[Y^2]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)])-(E[Y^2]-E[g_0^2(X)])

\displaystyle =E[g_0^2(X)]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)]

\displaystyle =E[g_0^2(X)-2g_0(X).g(X)+g^2(X)]

\displaystyle =E\left[(g(X)-g_0(X))^2\right]\ge 0

 Ngoài cách chứng minh trên chúng ta có cách chứng minh quen thuộc sau đây:

Cách giải thứ 2:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2|X]

\displaystyle =E[\left(Y-E[Y|X]+E[Y|X]-g(X)\right)^2|X]

\displaystyle =E[\left(Y-E[Y|X]\right)^2|X]+E[\left(E[Y|X]-g(X)\right)^2|X]+2E[\left(Y-E[Y|X]).(E[Y|X]-g(X)\right)|X]

Ta xem \displaystyle E[Y|X]-g(X) như là một hằng số do đã biết \displaystyle X. Khi đó dựa theo tính chất \displaystyle E[a.Y|X]=a.E[Y|X] ta có:

\displaystyle E[\left((Y-E[Y|X]).(E[Y|X]-g(X)\right)|X]

\displaystyle \left\{E[Y|X]-g(X)\right\}.E[\left(Y-E[Y|X]\right)|X]

\displaystyle \left\{E[Y|X]-g(X)\right\}.\left(E[Y|X]-E[Y|X]\right)

\displaystyle =0

Từ đó ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2|X]\ge E[\left(Y-E[Y|X]\right)^2|X]

Suy ra:

\displaystyle E[VT]\ge E[VP]

\displaystyle \Leftrightarrow E[\left(Y-g(X)\right)^2]\ge E[\left(Y-E(Y|X)\right)^2]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X)

Sách Mathematical Finance: Theory, Modeling, Implementation

Đây là một trong những quyển sách Toán Tài Chính ngoài lý thuyết dẫn nhập còn đề cập đến các ứng dụng trong thực hành. Các lý thuyết trong sách đa phần đều trình bày dưới dạng toán học chặt chẽ. Sách được viết cho đối tượng upper undergraduate (sinh viên năm cuối) hoặc beginning graduate level (trình độ mới bắt đầu chương trình sau đại học).

Bản 2007 với cập nhật mới từ bản cũ (từ 400 trang lên 500 trang). Mình share link cho những ai quan tâm có thể tải về đọc.

A balanced introduction to the theoretical foundations and real-world applications of mathematical financeThe ever-growing use of derivative products makes it essential for financial industry practitioners to have a solid understanding of derivative pricing. To cope with the growing complexity, narrowing margins, and shortening life-cycle of the individual derivative product, an efficient, yet modular, implementation of the pricing algorithms is necessary. Mathematical Finance is the first book to harmonize the theory, modeling, and implementation of today’s most prevalent pricing models under one convenient cover. Building a bridge from academia to practice, this self-contained text applies theoretical concepts to real-world examples and introduces state-of-the-art, object-oriented programming techniques that equip the reader with the conceptual and illustrative tools needed to understand and develop successful derivative pricing models.

Utilizing almost twenty years of academic and industry experience, the author discusses the mathematical concepts that are the foundation of commonly used derivative pricing models, and insightful Motivation and Interpretation sections for each concept are presented to further illustrate the relationship between theory and practice. In-depth coverage of the common characteristics found amongst successful pricing models are provided in addition to key techniques and tips for the construction of these models. The opportunity to interactively explore the book’s principal ideas and methodologies is made possible via a related Web site that features interactive Java experiments and exercises.

While a high standard of mathematical precision is retained, Mathematical Finance emphasizes practical motivations, interpretations, and results and is an excellent textbook for students in mathematical finance, computational finance, and derivative pricing courses at the upper undergraduate or beginning graduate level. It also serves as a valuable reference for professionals in the banking, insurance, and asset management industries.

https://skydrive.live.com/redir?resid=E38772ED0030D9D5!125&authkey=!ACx9l9Xs2RyiCX4

Sách My Life as a Quant: Reflections on Physics and Finance

Trong bài viết về mô hình Black-Scholes chúng ta đã có dịp đọc qua một vài nội dung trong quyển sách “My Life as a Quant: Reflections on Physics and Finance” (khái niệm Quant chỉ những chuyên gia trong lĩnh vực Tài chính Định lượng). Trong bài này mình post lại quyển sách để ai có hứng thú có thể tìm đọc. Đây cũng là một trong những quyển sách bán rất chạy và nhận được đông đảo sự ủng hộ và đánh giá cao trong lĩnh vực Quant.

EMANUEL DERMAN is Head of Risk at Prisma Capital Partners and a professor at Columbia University, where he directs their program in financial engineering. He is the author of My Life As A Quant, one of Business Week’s top ten books of the year, in which he introduced the quant world to a wide audience. His latest book is Models.Behaving.Badly: Why Confusing Illusion with Reality Can Lead to Disasters,On Wall Street and in Life.

He was born in South Africa but has lived most of his professional life in Manhattan in New York City, where he has made contributions to several fields. He started out as a theoretical physicist, doing research on unified theories of elementary particle interactions. At AT&T Bell Laboratories in the 1980s he developed programming languages for business modeling. From 1985 to 2002 he worked on Wall Street, running quantitative strategies research groups in fixed income, equities and risk management, and was appointed a managing director at Goldman Sachs & Co. in 1997. The financial models he developed there, the Black-Derman-Toy interest rate model and the Derman-Kani local volatility model, have become widely used industry standards.

In his 1996 article Model Risk Derman pointed out the dangers that inevitably accompany the use of models, a theme he developed in My Life as a Quant. Among his many awards and honors, he was named the SunGard/IAFE Financial Engineer of the Year in 2000. He has a PhD in theoretical physics from Columbia University and is the author of numerous articles in elementary particle physics, computer science, and finance.

He blogs at http://blogs.reuters.com/emanuelderman/
Website http://www.emanuelderman.com
Twitter @emanuelderman

Các bạn có thể tải sách tại link sau:

https://skydrive.live.com/redir?resid=E38772ED0030D9D5!131&authkey=!AL3iOX7huKQ6LKE

So sánh lãi đơn và lãi kép

I, Đặt vấn đề

Hầu như bất kỳ một sinh viên nào (ít nhất thuộc khối ngành kinh tế) đều đã từng được làm quen với khái niệm lãi đơn và lãi kép.Hiểu đơn giản đó là giả sử ta gửi tiết kiệm 1,000$ vào ngân hàng vào ngày hôm nay, đến khi ta rút số tiền đó ra thì hẳn nhiên sẽ là một số tiền lớn hơn 1,000$ ban đầu bao gồm tiền gốc 1,000$ và lãi từ 1,000$ đô đó. (phần lãi này có thể hiểu nôm na, xem như là chi phí cơ hội hoặc cũng có thể coi là chi phí sử dụng vốn mà ngân hàng trả cho chúng ta, ở đây chúng ta đang trong vai trò người đầu tư, người cho vay và ngân hàng là người đi vay – mục đích là huy động vốn, họ sẽ dùng số tiền đó để tái đầu tư và thu lại được một khoản lợi nhuận khác… Tương tự trong các tình huống khác, chứ không nhất thiết là gửi tiết kiệm).

Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản là phần lãi sẽ chỉ tính từ vốn gốc ban đầu, trong khi lãi kép cứ sau mỗi một kỳ sẽ được cộng dồn phần lãi với phần gốc rồi tính lãi dựa trên phần tính lãi mới đó. Câu hỏi đặt ra là ta nên tính theo loại lãi nào để thu được lợi ích lớn nhất? ( Mặc dù trong thực tế lãi kép được sử dụng phổ biến chứ không phải là lãi đơn)

Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa lãi đơn và lãi kép trong ngắn hạn cũng như dài hạn trong bài viết này để làm rõ đối với mức thời gian đáo hạn nào thì sử dụng loại lãi nào sẽ mang lại lớn ích lớn hơn. Mặc dù đây không phải là một tính chất quan trọng của Toán Tài Chính (quan trọng ở đây được hiểu theo nghĩa là nó có những ứng dụng đáng kể trong lĩnh vực này) nhưng nó là một tính chất rất cơ bản mà người học nhập môn TTC nên biết. Đây cũng là lời giải của mình cho một bài tập trên lớp, môn Toán Tài Chính 1 – Đại học Kinh tế Tp HCM.

Trước hết ta nhắc lại công thức tính của 2 loại lãi suất này.

Công thức tính lãi đơn như sau: \displaystyle A_1 = X(1 + t \times i)

Công thức tính lãi kép như sau: \displaystyle A_2 = X(1 + i)^t

Trong đó:

  • \displaystyle X là khoản tiền bỏ ra đầu tư (ví dụ như một khoản tiền gửi ngân hàng – deposit).
  •  \displaystyle i là mức lãi suất thoả thuận.
  •  \displaystyle t là thời gian nhận lại khoản tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi.

Các biến này có miền xác định như sau: \displaystyle X,i,t \in \mathbb{R^+} hay \displaystyle X,i,t \in (0;+\infty)

Câu hỏi đặt ra là giá trị của \displaystyle A_1\displaystyle A_2 sẽ có quan hệ như thế nào với thời gian nhận lại khoản tiền đầu tư t.

\displaystyle \triangledown

II. Một số lời giải

Ta xét hai khoảng thời gian để so sánh \displaystyle A_1\displaystyle A_2. Dễ thấy trong ngắn hạn (dưới 1 năm) thì \displaystyle 0<t<1, trong dài hạn (trên một năm) thì \displaystyle t>1. Hiển nhiên khi \displaystyle t=1 thì \displaystyle A_1=A_2. Do \displaystyle X>0 nên để so sánh \displaystyle A_1\displaystyle A_2 ta chỉ cần xét hàm sau là đủ:

\displaystyle f(i,t)=(1 + i)^t-(1 + t \times i)

Cố định biến \displaystyle t ta xét đạo hàm hàm \displaystyle f(i,t) theo \displaystyle i khi đó: (Điều này hiệu quả hơn là nếu cố định \displaystyle i và lấy đạo hàm theo \displaystyle t khi đó lời giải sẽ khó hơn nhiều vì đạo hàm của hàm mũ khá phức tạp)

\displaystyle f(i,t)=f(i)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}    f'(i)=t(1+i)^{t-1}-t    \\    f''(i)=t(t-1)(1+i)^{t-2}    \end{matrix}\right.

Ta xét hai trường hợp sau:

\displaystyle \triangleright Trường hợp 1: Nếu \displaystyle t>1 khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)>0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm đồng biến. Mặt khác lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)>f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm đồng biến vì vậy

\displaystyle f(i)>f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2>A_1

\displaystyle \triangleright Trường hợp 2: Nếu \displaystyle 0<t<1 hoàn toàn tương tự với trường hợp 1, khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)<0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm nghịch biến. Lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)<f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm nghịch biến vì vậy

\displaystyle f(i)<f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2<A_1

\displaystyle \triangledown

Ngoài cách sử dụng đạo hàm ta có thể sử dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange để giải như sau:

Định lý giá trị trung bình

Cho \displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R} là một hàm liên tục trên \displaystyle [a,b] và khả vi trên \displaystyle (a,b). Khi đó tồn tại \displaystyle c\in (a,b) sao cho:

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

Quay trở lại bài toán: Ta xét hàm \displaystyle f(k)=(1+k)^t với \displaystyle k\in (0,i)\displaystyle i>0. Theo định lý giá trị trung bình thì tồn tại một số \displaystyle c \in (0,i) sao cho:

\displaystyle \frac{f(i)-f(0)}{i-0}=f'(c) \iff \frac{(1+i)^t-1}{i}=t\times(1+c)^{t-1}

\displaystyle \Rightarrow(1+i)^t-1=i\times t\times(1+c)^{t-1}>t\times i \Rightarrow (1+i)^t>1+t\times i

Điều trên đúng là do với \displaystyle t>1\displaystyle c>0 thì dễ thấy

\displaystyle (1+c)^{t-1}>1 \iff (t-1)\times \ln{(1+c)}>\ln{1}=0

Hiển nhiên đúng do hàm logarit nêpe \displaystyle \ln{x} đồng biến với mọi \displaystyle x>1.

Trường hợp \displaystyle 0<t<1 chứng minh hoàn toàn tương tự.

\displaystyle \triangledown

III. Kết luận:

Như vậy trong ngắn hạn nếu sử dụng lãi suất đơn thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi kép) còn trong dài hạn thì sử dụng lãi suất kép thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi đơn).

Mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình quan trọng bậc nhất đánh dấu sự ra đời và phát triển của ngành Toán Tài Chính vào năm 1973. Đây có thể coi là một trong những cuộc cách mạng làm thay đổi bộ mặt của thị trường Tài chính. Thực tế theo thời gian mô hình này đã có những sự lỗi thời nhất định (vì vậy mà các nhà khoa học vẫn đang nghiên cứu về các khái niệm Beyond Black-Scholes nhằm khắc phục những giả định của mô hình này – chúng ta sẽ bàn tới nó trong các bài viết sau này) tuy nhiên nó vẫn là một công thức nổi tiếng nhất liên quan đến định giá các sản phẩm phái sinh và được ứng dụng rộng rãi. Trong một số chương trình quốc tế uy tín khác ví dụ như ACCA (Association of Chartered Certified Accountants –  Hiệp Hội Kế toán Công chứng Anh) ở môn quản trị tài chính nâng cao (P4 Advanced Financial Management) một trong những môn cuối cùng trong cấp độ chuyên nghiệp của ACCA vẫn đề cập đến công thức này như là một công cụ hữu ích. Trong các chương trình giảng dạy về Tài chính thì đây cũng là công thức rất quan trọng.

Một công thức quen thuộc của mô hình này là: Công thức Black – Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black – Scholes là:

\displaystyle C(S,t) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2)

Trong đó:

\displaystyle d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}

\displaystyle d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}

Giá của quyền chọn bán là:

\displaystyle P(S,t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - SN(-d_1)

Với:

  • N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
  • (T – t) là thời gian còn lại đến kì hạn.
  • S là giá giao ngay (spot price) của tài sải cơ sở.
  • K là giá thực hiện (strike price).
  • r là lãi suất phi rủi ro.
  •  \displaystyle \sigma là độ bất ổn của tài sản cơ sở (volatility)

Ở đây chúng ta sẽ không nói nhiều về mặt toán học của mô hình Black-Scholes mà nói về một chút về lịch sử cũng như ý nghĩa định tính của công thức này. Bài viết được trích từ vietcurrency.com…

Read the rest of this entry

Toán học Tài chính – Một ngành khoa học đang phát triển mạnh

Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài báo liên quan tới Toán Tài Chính, giúp bạn có một cái nhìn tổng quan về vai trò của Toán học trong Tài chính. Tác giả của các bài viết này cũng là tác giả của một số tài liệu nhập môn Toán Tài Chính đã và sắp xuất bản trong thời gian gần.

Bài viết dưới đây là của tác giả Trần Hùng Thao (Viện Toán học)

Toán học Tài chính, một ngành khoa học đang phát triển mạnh

Trần Hùng Thao (Viện Toán học)

Toán học tài chính ra đời hơn 100 năm nay, nhưng đặc biệt phát triển trong khoảng ba bốn thập kỷ nay và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia và các cộng đồng kinh tế trên thế giới. Nó gắn liền với việc phân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm, . . . , vốn là những vấn đề tài chính thời sự, nhất là trong cơn suy thoái kinh tế toàn cầu hiện nay.

I. Vài nét lịch sử.

Ngày 29 tháng Ba năm 1900 đã được thừa nhận là ngày khai sinh ra Toán học tài chính, ngày mà Louis Bachelier (1870-1946) bảo vệ thành công luận án tiến sĩ nhan đề “Lý thuyết đầu cơ tài chính” (Théorie de spéculation) tại Đại học Sorbornne (Paris) dưới sự hướng dẫn của nhà toán học lừng danh là Henri Poincaré. Bachelier là người đầu tiên đã khám phá ra chuyển động Brown dưới dạng toán học (trước cả A. Einstein tới 5 năm) và dùng chuyển động này để mô tả diễn

biến của giá chứng khoán. Năm 2000, giới toán học tài chính thế giới đã tổ chức lễ kỷ niệm 100 năm ra đời của ngành này tại Paris. Tuy nhiên, mãi đến hơn nửa thế kỷ sau, công trình của Bachelier mới được biết đến rộng rãi trong những người nghiên cứu tài chính; bản dịch tiếng Anh của công trình này chỉ xuất hiện vào năm 1967, khi mà những ứng dụng của toán học vào nghiên cứu tài chính đã dần trở nên cấp thiết. Vào khoảng năm 1953 và sau đó, Harry Markowitz và James Tobin đã đưa ra lý thuyết “lựa chọn danh mục đầu tư”, dựa vào việc phân tích trung bình-phương sai trong lý thuyết xác suất. Nhưng một mốc quan trọng là sự ra đời của mô hình Black-Scholes vào năm 1973, sự kiện đó có tính chất cách mạng vì nó làm thay đổi đồng loạt phương thức tính toán vốn đầu tư vào các thị trường chứng khoán, đặc biệt là thị trường các quyền chọn (options).

Lịch sử mô hình Black-Scholes là như sau: Năm 1973, Fischer Black, một chàng trai 31 tuổi và là một chuyên gia tạo dựng các hợp đồng tài chính, cùng với một chàng trai khác 28 tuổi là Myron Scholes, một trợ giáo về khoa học tài chính tại Đại học MIT ở Massachusetts (Mỹ) và là một tiến sĩ toán học ứng dụng, đã cùng viết một bài báo phân tích về giá trị của quyền chọn mua kiểu châu Âu, tên là “Định giá các quyền chọn và các khoản nợ” . Bài báo này khi đó được gửi đăng tại Tạp chí Kinh tế Chính trị và Tạp chí Kinh tế và Thống kê của Mỹ nhưng đều bị cả hai tạp chí đó từ chối. Sau đó, với sự hiệu đính của hai

nhà nghiên cứu toán kinh tế là Merton Miller (Đại học Chicago, giải thưởng Nobel) và Eugene Fama (Đại học Chicago), cha đẻ của lý thuyết thị trường hiệu quả, cuối cùng bài báo đã được đăng trên Tạp chí Kinh tế Chính trị, và tới năm 1975, công thức Black-Scholes đã được chấp nhận là công cụ tính toán trên các thị trường chứng khoán Mỹ và châu Âu. Sau đó, nhận thấy mô hình Black-Scholes còn nhiều khiếm khuyết trong sự phản ánh thực tế thị trường tài chính, nhiều nhà nghiên cứu toán tài chính đã vào cuộc, sáng tạo ra nhiều lý thuyết phong phú và có tính ứng dụng cao, trong đó phải kể đến nhiều nhà toán học tầm cỡ như S. Shreve, T. Bjork, A. Shiryaev, D. Nualart, G. Kallianpur, N. Karoui, M. Rutkovski và rất nhiều tác giả nổi tiếng khác mà đa phần trong số họ là những chuyên gia giỏi về xác suất thống kê và giải tích ngẫu nhiên.Ở Việt Nam, Viện Toán học đã cử cán bộ đi học tập và nghiên cứu về Toán tài chính ở nước ngoài từ năm 1991 và một nhóm nghiên

cứu chung ở trình độ cao đã hình thành tại Viện Toán học và Khoa Toán-Cơ-Tin học ĐHKHTN Hà nội trong khoảng 10 năm trở lại đây. Một số Tiến sĩ và Thạc sĩ về toán tài chính đã được đào tạo tại hai cơ quan nàytrong những năm qua.

Tại Đại học Kinh tế Quốc dân Hà nội, có hẳn một Bộ môn Toán tài chính đã đào tạo được nhiều sinh viên chuyên ngành toán tài chính. Hiện nay, Khoa Toán Kinh tế ĐH Kinh tế quốc dân Hà nội đang phối hợp với Đại học Lyon 1 (Pháp) đào tạo các khóa Cao học về “Định phí bảo hiểm và toán tài chính”, Sinh viên được học cả ở Hà nội và ở Lyon. Việc nghiên cứu và giảng dạy Toán tài chính cũng được triển khai tại Đại học Bách Khoa Hà nội, Đại học Kinh tế Quốc dân thành phố Hồ Chí Minh, Đại học KHTN thành phố Hồ Chí Minh và một số Đại học khác. Ngoài ra, cán bộ Viện Toán học cũng tham gia hướng dẫn

và đào tạo nhiều tiến sĩ và thạc sĩ về toán tài chính ở nước ngoài.

II. Các công cụ toán học của Toán học tài chính. Các công cụ này bao gồm nhiều bộ môn toán học như Xác suất và Thống kê, Giải tích ngẫu nhiên, Lý thuyết trò chơi, Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng,

Lý thuyết điều khiển,… Nhưng đóng vai trò chủ đạo là các phương pháp của xác suất, thống kê và giải tích ngẫu nhiên. Điều đó dễ hiểu, vì diễn biến của giá các sản phẩm tài chính là ngẫu nhiên, nó đòi hỏi phải được xử lý bằng các phương pháp đó. Điều ấy cũng cắt nghĩa tại sao những nhà nghiên cứu toán học tài chính đã giới thiệu trên đều là những chuyên gia uyên bác về Giải tích ngẫu nhiên và Xác suất Thống kê. Ở nhiều đại học nước ta, bắt đầu có sự quan tâm xây dựng chương trình môn học để đào tạo và nghiên cứu về Toán tài chính. Chúng tôi nghĩ rằng, việc này phải được tiến hành một cách nghiêm túc và không nên xa rời các chuẩn mực quốc tế. Toán học tài chính là gì, cần phải dạy những môn gì từ cơ sở đến nâng cao, câu hỏi này đã có những trả lời chung trên thế giới từ lâu. Không phải bất cứ thủ thuật nào dùng đến vài kiến thức toán sơ cấp và vài phần mềm giản dị nào đó để dự đoán một biến động giá nào đó, đã làm nên môn học Toán tài chính, hoặc đã có thể coi là một nghiên cứu khoa học nghiêm túc được. Hệ thống tài chính là một hệ phức tạp, do đó công cụ toán học để xử lý nó không thể là một công cụ thô sơ được.

III. Vài khái niệm.

Không thể mô tả bằng vài dòng các nội dung phong phú của Toán học tài chính. Tuy nhiên, cũng có thể nêu lên một cách sơ lược và heuristic vài khái niệm cơ bản:

1. Tài sản tài chính

Gồm hai loại, đó là tài sản cơ bản (gồm các cổ phiếu, trái phiếu, giấy ghi nợ, tài khoản ngân hàng,. . . ) và tài sản phái sinh (gồm các hợp đồng tài chính tạo nên từ các tài sản cơ bản theo một số điều kiện nào đó, có giá trị biến đổi ngẫu nhiên theo thời gian và có thời điểm đáo hạn và giá trị đáo hạn định trước). Tài sản cơ bản ví như các vật liệu xây dựng (gạch, xi măng, sắt thép,. . . ); tài sản phái sinh tựa như các ngôi nhà tạo nên từ các vật liệu đó.Tài sản phái sinh chính là các hợp đồng tài chính xây dựng trên các chứng khoán cơ bản với các điều khoản ràng buộc nào đó. Trong thị trường tài chính, người ta buôn  bán các giấy tờ có mệnh giá, tức là các hợp đồng tài chính.

2. Độ chênh thị giá (Arbitrage):

Một phương án dầu tư gọi là có cơ hội chênh thị giá, nếu tại thời điểm ban đầu giá trị của phương án đầu tư bằng 0 nhưng tại thời điểm đáo hạn, giá trị của phương án ấy là không âm và có khả năng dương thực sự. Trong một thị trường có độ chênh thị giá, một nhà đầu tư tay không vẫn có thể kiếm lời. Người ta luôn mong muốn không có điều đó xảy ra, tức là được làm việc trong thị trường không có cơ hội chênh thị giá.

3. Thị trường đầy đủ

Là thị trường mà với một giá đáo hạn nào định trước nào đấy của các hợp đồng tài chính, thế nào cũng tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ mà giá trị cuối cùng của nó đạt được giá trị đáo hạn định trước ấy. Ỏ đây, phương án đầu tư tự tài trợ được hiểu nôm na là phương án đầu tư mà trong thời hạn của hợp đồng có thể thay đổi tỉ trọng tiền đầu tư vào mỗi chứng khoán, nhưng tổng số tiền đầu tư vẫn không thay đổi.

4. Thị trường lành mạnh

là thị trường trong đó không tồn tại cơ hội có độ chênh thị giá.

5. Thị trường hiệu quả

là thị trường thỏamãn hai giả thiết:

(i) Thông tin về thị trường phải được phản ánh đầy đủ vào giá của sản phẩm tài chính.

(ii) Mọi nhà đầu tư trong thị trường đều có khả năng tiếp cận thông tin về thị trường ngang nhau; không ai có thể nắm được thêm thông tin vượt trội về thị trường so với những người khác.

6. Phương pháp mac-tin-gan

  Là một phương pháp quan trọng trong toán tài chính: – Nhờ phương pháp này, người ta có thể dùng hệ số tính lùi (discounted coefficient) để xác định được vốn đầu tư ban đầu cần bỏ ra, để đạt được giá trị đáo hạn đã xác định trước của hợp đồng. Trong quá trình tính toán này, người ta tìm ra một độ đo xác suất mới mà giá của sản phẩm tài chính (vốn là ngẫu nhiên) lại được biểu diễn qua một kỳ vọng toán theo xác suất mới ấy, nghĩa là theo xác suất mới này thì giá trị sản phẩm là một số tất định. Vì thế độ đo xác suất này được gọi là xác suất trung tính đối với sự ngẫu nhiên, hay là xác suất rủi ro trung tính,hay là đọ đo mác-tin-gan. – Cũng nhờ phương pháp mac-tin-gan, các sản phẩm tài chính trong thị trường hiệu quả có thể biểu diễn như các mac-tin-gan và do đó có thể sử dụng phương pháp này để tính các đại lượng liên quan.

7. Nhiều phương pháp thống kê như phân tích phân loại, thống kê quá trình Markov,

thống kê phi tham số, thống kê Bayes, . . . cũng đã được sử dụng trong Toán tài chính. Đặc biệt thống kê phân tích phân biệt đã được dùng để xây dựng các chỉ số tín nhiệm công ty, chẳng hạn chỉ số Z của Altman cho biết vùng an toàn, vùng nguy hiểm hoặc phá sản của một doanh nghiệp; hoặc các chỉ số tín nhiệm khách hàng dự trên đánh giá khả năng trả nợ của các khách hàng vay tiền của ngân hàng. Phương pháp xích Markov được dùng để theo dõi diễn biến khả năng tài chính của

các doanh nghiệp . . .

8. Hai định lý cơ bản của Toán tài chính.

Cơ sở của lý thuyết hiện đại về Toán học Tài

chính là hai điều khẳng định cơ bản sau đây:

Định lý 1: Một thị trường không có độ chênh thị giá khi và chỉ khi tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính.

Định lý 2: Một thị trường là đầy đủ nếu tồn tại duy nhất một độ đo xác suất rủi ro trung tính.

IV. Kết luận. Toán học tài chính luôn luôn được phát triển để đáp ứng với nhu cầu thay đổi của thị trường tài chính. Việc vận dụng luôn luôn cần sự linh hoạt và điều chỉnh, không cứng nhắc (tiếng Anh là calibration). Tuy là một khoa học nhưng toán tài chính luôn ở trạng thái động, các phương pháp luôn thay đổi linh hoạt theo thời gian và hoàn cảnh áp dụng. Trong một lần đi công tác ở Mỹ, tôi được một giáo sư toán tài chính Mỹ hỏi rằng: “Anh đã đọc Binh pháp của Tôn Tử chưa?” Tôi ngạc nhiên và trả lời rằng tôi chưa đọc, mặc dù có biết qua, nhưng không hiểu có liên quan gì đến thị trường chứng khoán.Tôn Tử, tức Tôn Vũ, là một thiên tài quân sự Trung quốc ở thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. Về sau khi có dịp đọc cuốn sách của tác giả Dean Lundell nhan đề là “Binh pháp Tôn Tử, Kim chỉ nam trong giao dịch thị trường chứng khoán” tôi mới hiểu rằng, người Mỹ khôn ngoan và thực dụng, đã biết vận dụng trí tuệ và văn minh Trung hoa hơn 2500 trước vào việc kinh doanh chứng khoán: mười ba phép binh của Tôn Tử cũng ứng với mười ba phép ứng xử của nhà đầu tư trong thị trường chứng khoán; ngoài ra Tôn Tử đã từng nói: “Binh pháp có năm việc: một là quan sát, hai là dự doán, ba là tính toán, bốn là so sánh, năm là chiến thắng”. Và đó cũng là năm công đoạn của Toán học tài chính, trong đó công đoạn cuối cùng được hiểu là xây dựng một lý thuyết thay đổi phù hợp một cách tối ưu với diễn biến của thị trường tài chính.

Trích:  Toán học tài chính

Tiếp theo là bài viết của GS Nguyễn Tiến Dũng

Read the rest of this entry

Ngành Toán Tài Chính ở Việt Nam

Bài viết này chỉ đơn giản là tổng hợp thông tin liên quan đến ngành Toán Tài Chính – Tài Chính Định Lượng ở Việt Nam. Cho tới thời điểm này thì ở Việt Nam có 3 trường Đại học đào tạo chuyên ngành này bao gồm: Đại học Kinh tế Tp HCM, Đại học KHTN Tp HCM, Đại học Kinh tế Quốc dân. Ngoài ra còn có chương trình Thạc sỹ Tài Chính Định Lượng do trung tâm xuất sắc JVN phối hợp cùng ĐH KHTN giảng dạy.

Read the rest of this entry

Chuyển động Brown trong Toán Tài Chính

Trong các bài viết trước chúng ta đã tìm hiểu sơ qua về các khái niệm rất cơ bản liên quan tới giá trị theo thời gian của tiền tệ.  Đây là những khái niệm hết sức căn bản nhưng cần thiết để có thể đọc hiểu một quyển Toán Tài Chính. Tiếp tục loạt bài viết này hôm nay chúng ta sẽ nói về một chủ đề rất quan trọng trong nhập môn Toán Tài Chính đó là “Chuyển động Brown và giải tích ngẫu nhiên”. Tất nhiên không thể nào trình bày một cách đầy đủ và bao quát hết được vì đây là 1 lĩnh vực khó, trừu tượng và thậm chí nó là 1 trong những bộ môn được nghiên cứu riêng (Brownian Motion Calculus) và áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khác như Sinh học, Vật lý… (bản thân mình viết bài này cũng đang tìm hiểu và muốn chia sẽ về một số điều mình rút ra được khi tìm hiểu về nó). Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập một số khái niệm căn bản về chuyển động Brown liên quan tới thị trường Tài chính với một cách hiểu đơn giản nhất mà không quá nặng về mặt toán học (thực tế cho thấy rằng rất nhiều tài liệu viết về chủ đề này nhưng đa phần đều được trình bày dưới các định nghĩa toán học chặt chẽ và cũng không dễ để hiểu). Trước hết chúng ta xem lại một bài viết liên quan đến chủ đề này mang tính lịch sử và định tính sau đó chúng ta sẽ chuyển qua đến lý thuyết Toán học của nó:

Chuyển động Brown và thị trường chứng khoán  http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=62&News=1689&CategoryID=7

Trích kết luận của bài viết này: Những áp dụng của lý thuyết ngẫu nhiên này thực sự là rất sâu và rộng. Trong lĩnh vực kinh tế, các biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy sự đổi mới. Nếu chúng ta biết được chính xác điều gì sẽ đến thì chúng ta chả cần phải học hành hay nghiên cứu gì nữa. Ở đây không có gì đảm bảo chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết về chuyển động Brown, bởi vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng ta một cách tiếp cận dễ hiểu về sự vận động của các thị trường chứng khoán. Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta kiếm tiền dễ hơn và có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá rủi ro.

I, Quá trình Markov

Trước khi đi vào tìm hiểu về chuyển động Brown chúng ta làm quen với khái niệm quá trình Markov (Markov process). Quá trình Markov là một trường hợp riêng trong các quá trình ngẫu nhiên, quá trình này là một quá trình tại đó giá trị hiện tại (present value) của một biến liên quan tới việc dự đoán giá trị tương lai  (relevant) trong khi đó các số liệu quá khứ của biến đó thì không hề liên quan (irrelevant).

Đây là cách giải thích mang tính chất định tính nhiều hơn, chúng ta sẽ không bàn nhiều về định nghĩa toán học của nó mà chỉ cần hiểu được bản chất cơ bản của nó trong bài viết này.

Ví dụ giá chứng khoán thường được giả sử là tuân theo quá trình Markov. Điều đó có nghĩa là nếu giá chứng khoán ACB ngày hôm nay là 100$ thì nếu giá của chứng khoán này tuân theo quá trình Markov thì những dự đoán của chúng ta về giá trị tương lai của chứng khoán này không bị ảnh hưởng bởi giá chứng khoán ACB cách đây 1 tuần, 1 tháng hoặc 1 năm… Giá mà chúng ta cần quan tâm chính là giá hiện tại 100$ mà thôi. Điều này cho thấy một sự trái ngược trong một mặt nào đó vì thông thường nhiều người tiến hành dự báo giá chứng khoán dựa vào số liệu chuỗi thời gian, ví dụ như phương pháp ARIMA chẳng hạn?!

Tuy nhiên các tính chất thống kê của giá chứng khoán ACB trong quá khứ có thể vẫn sẽ hữu dụng trong việc xác định quá trình ngẫu nhiên của giá chứng khoán (ví dụ như để xác định Volatility – độ giao động)…

Quay lại với quá trình Markov. Chúng ta xem xét một biến số tuân theo quá trình ngẫu nhiên Markov. Giả sử rằng giá trị hiện tại của biến số đó là 10 và sự thay đổi trong giá trị của biến số đó trong suốt 1 năm tuân theo phân phối chuẩn \displaystyle N(0,1). Câu hỏi đặt ra là phân phối xác suất trong sự thay đổi giá trị của biến số đó trong vòng 2 năm sẽ là gì?

Sự thay đổi giá trị trong vòng 2 năm là tổng của hai phân phối chuẩn mà mỗi phân phối là \displaystyle N(0,1). Bởi vì biến số này tuân theo quá trình Markov nên 2 phân phối xác suất này là hoàn toàn độc lập. Khi đó cộng hai phân phối chuẩn độc lập sẽ cho ra một phân phối chuẩn có trung bình bằng tổng các trung bình và phương sai bằng tổng các phương sai. Tức là sự thay đổi trong 2 năm sẽ tuân theo phân phối chuẩn:

\displaystyle N(0,1)+N(0,1)=N(0+0,1+1)=N(0,2)

Tiếp tục xem xét sự thay đổi của biến số này trong vòng 6 tháng. Cùng với lập luận như ở trên. Sự thay đổi trong vòng 1 năm tương ứng với sự thay đổi trong vòng 6 tháng đầu và 6 tháng cuối. Như vậy sự thay đổi này tuân theo phân phối chuẩn \displaystyle N(0,0.5). Tương tự trong 3 tháng sẽ là \displaystyle N(0,0.25). Một cách tổng quát:

Sự thay đổi trong suốt một quãng thời gian có độ dài T là một phân phối chuẩn \displaystyle N(0,T). (Đang bổ sung)

II, Chuyển động Brown

Chúng ta quay lại định nghĩa về mặt toán học của chuyển động Brown. Chuyển động Brown hay  quá trình Wiener được ký hiệu là \displaystyle W(t). Quá trình Wiener \displaystyle W(t) thoả mãn các tính chất sau:

                                 \displaystyle\ast W(0)=0             (1)

                                 \displaystyle\ast W(t) là biến số liên tục theo thời gian t.        (2)

                                 \displaystyle\ast Sự thay đổi \displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t) (với \displaystyle 0\le s,t ).       (3)

                                 \displaystyle\ast W(t+s)-W(s) độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s.      (4)

Trong đó ta ký hiệu: \displaystyle N(\mu ,\sigma ^2) biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình μphương sai σ2.

Ta có thể mô phỏng tính chất của chuyển động Brown thông qua đồ thị dưới đây. Trích từ “Mathematical Finance. Theory, Modeling, Implementation” của Christian Fries.

Chúng ta sẽ phân tích một chút về các khái niệm trên:

(1) chỉ mang tính chất chuẩn hoá có nghĩa là để làm đơn giản hoá quá trình mà không làm thay đổi tính chất của nó ta chuẩn hoá giá trị ban đầu bằng một hằng số. Thực chất sự chuẩn hoá không phải là một khái niệm mới, trong chương trình THPT thì chuẩn hoá được sử dụng khá nhiều đặc biệt là trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng thuần nhất.

(2) thoả mãn tính chất liên tục của chuyển động Brown, trong quá trình liên tục thì đòi hỏi \displaystyle W(t) phải liên tục theo thời gian.

(3) là một ứng dụng của định lý Giới hạn trung tâm (The Central Limit Theorem). Hiểu đơn giản thì định lý này có nghĩa là tổng của nhiều biến ngẫu nhiên có cùng một phân phối sẽ là một phân phối chuẩn ngay cả khi các biến độc lập trong đó không phải là phân phối chuẩn. Nhắc lại định lý này như sau:

Định lý giới hạn trung tâm

Cho \displaystyle X_1,X_2,...là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, có cùng phân phối D và độc lập lẫn nhau. Giả sử giá trị kỳ vọng \displaystyle \mu và độ lệch chuẩn \displaystyle \sigma của phân phối D là tồn tại và hữu hạn (\displaystyle \sigma\neq 0). Xét tổng \displaystyle S_n=X_1+X_2+...+X_n. Ta có \displaystyle S_n có kỳ vọng là \displaystyle n\mu và độ lệch chuẩn \displaystyle \sigma \sqrt{n}. Khi đó, phân phối của \displaystyle S_n hội tụ về phân phối chuẩn \displaystyle N(n\mu,\sigma^2n)  khi n tiến về vô cùng.

Đây cũng là một trong những định lý quan trọng bậc nhất của xác suất được áp dụng nhiều trong lĩnh vực tài chính. Ta quay lại với (3). Ý tưởng này xuất phát từ việc chuyển động của biến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ s đến (t+s), độ dài thời gian là (t+s)-s=t. Ta chia nhỏ các khoảng thời gian thành K bước chuyển động độc lập (K là số tự nhiên). Mỗi bước chuyển động ứng với thời gian (t/K). Khi \displaystyle K\to \infty thì theo định lý Giới hạn trung tâm thì tổng của K biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối xác suất tiến tới một phân phối chuẩn (Normal Distribution) sau khi đã chuẩn hoá. Đôi khi trong một số tài liệu (3) được biểu diễn dưới dạng: Sự thay đổi \displaystyle W(t)-W(s) \sim N(0,t-s) (với \displaystyle 0\le s< t ). Cách biểu diễn này thực chất là một.

(4) Tính chất này tương tự quá trình Markov đã nói ở phần 1. Các bước chuyển động trong tương lai không phụ thuộc vào những gì đã xảy ra trong quá khứ.

Ở phần trên chúng ta sử dụng tên gọi “quá trình Wiener” thay vì sử dụng tên gọi “chuyển động Brown”. Tại sao lại có sự thay đổi này. Thực chất trong nhiều tài liệu thì định nghĩa một quá trình Wiener có \displaystyle W(t) là một Martingle (chúng ta sẽ nói về chủ đề này trong các bài viết sau) trong khi trong chuyển động Brown thì không có giả thiết đó mà giả định có quy luật phân phối chuẩn. Hai quá trình này có rất nhiều điểm khác biệt, ta có thể nghĩ rằng quá trình Wiener tổng quát hơn chuyển động Brown vì nó không xét đến quy luật phân phối nhưng thực chất theo định lý Lévy thì hai quá trình này không có sự khác biệt

Định lý đó như sau: “mọi quá trình Wiener \displaystyle W(t) liên quan đến tập thông tin \displaystyle I(t) đều là chuyển động Brown”. Như vậy hai định lý này là tương đương.

Quá trình Wiener thích hợp để mô tả sự thay đổi có tính liên tục của các biến ngẫu nhiên cơ sở như \displaystyle W(t), với khoảng thời gian quan sát dù nhỏ nhưng vẫn có thể quan sát được sự thay đổi của \displaystyle W(t), và điều này thích hợp với tính chất của các biến cố thường.

Sau đây chúng ta minh hoạ bằng một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1: Chọn một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn \displaystyle Z\sim N(0,1)\displaystyle W(t)=Z\sqrt{t}. Vậy \displaystyle W(t) có phải là một quá trình Wiener hay không?

Câu trả lời là không. Mặc dù \displaystyle W(t)\sim N(0,t) nhưng nó không thoả mãn tất cả các tính chất của một quá trình Wiener. Ta lần lượt kiểm tra các tính chất:

* \displaystyle W(t) liên tục. Điều này đúng.

* \displaystyle W(0)=0. Điều này đúng.

* Tuy nhiên: \displaystyle W(t+s)-W(s) =Z(\sqrt{t+s}-\sqrt{s}) có phương sai \displaystyle (\sqrt{t+s}-\sqrt{s})^2=t-2\sqrt{s(t+s)}\neq t. Điều này không thoả mãn tính chất \displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t).

Vậy đây không phải là một quá trình Wiener.

Ví dụ 2:

Cho \displaystyle W_1(t)\displaystyle W_2(t) là các quá trình Wiener độc lập và \displaystyle \xi là một tham số cố định thoả mãn \displaystyle 0<\xi<1. Chứng minh rằng tổ hợp tuyến tính sau là một quá trình Wiener:

\displaystyle X(t)=\xi W_1(t)+\sqrt{1-\xi^2} W_2(t)

Tiếp theo chúng ta đến với định nghĩa chuyển động hình học Brown, vi phân của chuyển động Brown, quá trình Wiener tổng quát. Sau đó chúng ta sẽ nói về một ví dụ ứng dụng đơn giản liên quan tới quá trình Wiener trong biến động giá chứng khoán.(đang bổ sung)

III, Mô phỏng chuyển động Brown

Ở trên các bạn đã có dịp làm quen với các khái niệm liên quan tới chuyển động Brown tuy nhiên vẫn chưa hình dung ra cách giả lập các mô hình tài chính dựa trên lý thuyết như thế nào. Phần này sẽ giúp các bạn có một cái nhìn tổng quan về việc thiết lập mô hình. Dưới đây là ví dụ thực hành rất cơ bản bằng phần mềm Excel trong việc giả lập chuyện động của giá chứng khoán dựa trên chuyển động Brown, chú ý đây chỉ là một ví dụ đơn giản và không có nghĩa là ta luôn sử dụng mô phỏng này (có nghĩa còn nhiều mô phỏng phức tạp hơn):

http://www.youtube.com/watch?v=oOnD_S2jq4U

Ngoài ra với phần mềm MATLAB ta có thể mô phỏng bằng cách code mã lệnh sau:

Chạy code lệnh cho ra kết quả là đồ thị mô phỏng của chuyển động Brown.

Tài liệu tham khảo:

  1. Options, Futures and other Derivatives – John C.Hull 7th Edition.
  2. Mathematical Finance – Vol 2 – PhD. Bùi Phúc Trung.
  3. Elementary Calculus of Financial Mathematics – A. J. Roberts
  4. The Concepts and Practice of Mathematical Finance – 2nd Edition – Mark S. Joshi
  5. Paul Wilmott on Quantitative Finance – 2nd Edition

Bài viết đang trong quá trình hoàn thiện và sẽ được bổ sung trong thời gian sớm nhất có thể…

Việt Nam sẽ có thị trường chứng khoán phái sinh vào năm 2014

Ủy ban Chứng khoán vừa gợi mở một số chi tiết đầu tiên của kế hoạch xây dựng loại hình thị trường mới cho chứng khoán Việt Nam. Chỉ số tương lai của Vn-Index nhiều khả năng sẽ là sản phẩm phái sinh đầu tiên.

Chia sẻ tại Hội thảo về xây dựng thị trường phái sinh Việt Nam, được tổ chức hôm qua tại Hà Nội, hầu hết đại diện của Ủy ban Chứng khoán (SSC) và các chuyên gia quốc tế đều khẳng định sự cần thiết của việc xây dựng thị trường chứng khoán phái sinh tại Việt Nam.

Chứng khoán phái sinh là loại chứng khoán có giá trị được xác định (sinh ra) trực tiếp từ giá trị của tài sản khác (bao gồm cả chứng khoán cơ sở). Hai dạng phổ biến là hợp đồng tương lai và hợp đồng quyền chọn. Chứng khoán phái sinh là loại công cụ quản lý rủi ro khá phổ biến của nhà đầu tư trên thị trường quốc tế. Tuy nhiên, đây cũng là xem là một công cụ “2 mặt” và có thể gây hậu quả nghiêm trọngnếu người sử dụng không có hiểu biết đầy đủ về nó.

“Trong 10 năm hoạt động của thị trường chứng khoán tại Việt Nam, Vn-Index từng có lúc lên tới 1.170 điểm nhưng cũng đã đã có thời điểm chỉ còn 235 điểm. Biên độ dao động rất lớn này cho thấy nhà đầu tư đang rất cần các công cụ để bảo hiểm rủi ro”, bà Tạ Thanh Bình, Phó vụ trưởng Vụ Phát triển thị trường (SSC) khẳng định.

Ủy ban Chứng khoán dự kiến sẽ xây dựng một thị trường phái sinh tập trung, dựa trên các chứng khoán cơ sở đang được niêm yết tại 2 Sở giao dịch Hà Nội và TP HCM hiện nay. Phương án xây dựng thị trường OTC cũng từng được tính đến nhưng không được ủng hộ do chứng khoán trên thị trường phi tập trung có độ rủi ro cao trong khi thanh khoản lại thấp, không thích hợp để tạo ra các sản phẩm phái sinh.

Theo tiết lộ của đại diện SSC, hợp đồng tương lai của chỉ số chứng khoán (cụ thể là Vn-Index) sẽ là chứng khoán phái sinh đầu tiên được dự kiến giao dịch trên thị trường vì đây là loại sản phẩm tương đối phổ biến trên thế giới và tương đối “dễ hiểu” đối với nhà đầu tư.

Nhà đầu tư sẽ phải đợi ít nhất là 3 năm nữa để có thể giao dịch chứng khoán phái sinh. Ảnh minh họa: Hoàng Hà
Thị trường chứng khoán

Tuy nhiên, một khó khăn khi xây dựng sản phẩm phái sinh từ Vn-Index là chỉ số này, mặc dù mang tính đại diện cao cho thị trường, nhưng vẫn được tính theo công thức cũ. “Do Vn-Index hiện được tính từ toàn bộ rổ cổ phiếu niêm yết tại sàn TP HCM nên có những cổ phiếu thanh khoản thấp, hoặc không có giao dịch vẫn có thể gây ảnh hưởng lớn. Do vậy Vn-Index chưa thực sự phản ánh chính xác diễn biến của thị trường”, Phó vụ trưởng Vụ Phát triển thị trường cho biết.

Để giải quyết vấn đề này, giải pháp được Ủy ban Chứng khoán đưa ra là xây dựng bộ chỉ số rút gọn Vn-Index 30 hoặc Vn-Index 50, tương tự như thông lệ của các thị trường chứng khoán lớn trên thế giới hiện nay. Bộ chỉ số này sẽ được tính cố định từ 30 hoặc 50 mã chứng khoán có thanh khoản tốt và có sức ảnh hưởng lớn nhất trên sàn chứng khoán (có thể thuộc hoặc không thuộc một nhóm ngành). Do đó, tránh được việc thường xuyên phải tính lại Vn-Index khi có thêm cổ phiếu mới lên sàn.

Sau khi thử nghiệm thành công hợp đồng tương lai của Vn-Index, Ủy ban Chứng khoán dự kiến sẽ mở rộng sản phẩm sang các loại hình chứng khoán khác (trái phiếu, cổ phiếu, chứng chỉ quỹ…) và xa hơn là các “hàng hóa” khác như vàng, lãi suất, hối đoái, dầu mỏ, cà phê… Các giao dịch trên thị trường phái sinh sẽ được thanh toán bằng tiền, thay vì các loại hàng hóa cơ sở.

Riêng với chứng khoán niêm yết, SSC cũng đề xuất chỉ sử dụng các loại chứng khoán có thanh khoản cao, chất lượng công bố thông tin tốt và được quản lý tài chính chặt chẽ… để tạo ta sản phẩm phái sinh. “Cơ quan quản lý sẽ tiến hành một cuộc kiểm tra toàn diện về thanh khoản của các chứng khoán niêm yết trước khi cho phép tạo ra sản phẩm phái sinh”, đại diện Ủy ban Chứng khoán cho biết.

Về mô hình thị trường, SSC dự kiến không triển khai hình thức 2 Sở giao dịch độc lập, 2 bảng điện tử như áp dụng với các loại chứng khoán cơ sở hiện nay bởi về lâu dài, mô hình này sẽ gây chia tách thị trường và tốn kém khi xây dựng. Hai phương án còn lại được tính đến là xây dựng một tập đoàn Giao dịch chứng khoán – nơi các Sở giao dịch là công ty thành viên hoạt động song song hoặc tiến hành hợp nhất 2 Sở giao dịch hiện nay.

Cả 2 mô hình này đều đang được bỏ ngỏ vì còn phụ thuộc khá nhiều vào định hướng phát triển thị trường chứng khoán giai đoạn 2015 – 2020, trong đó có việc tách – nhập các Sở giao dịch hiện nay. Hiện tại Ủy ban Chứng khoán cho biết đang hoàn thiện khung pháp lý cũng như cho thử nghiệm các công cụ hỗ trợ thị trường như giao dịch ký quỹ, bán khống, vay và cho vay chứng khoán bắt buộc… Cơ quan này dự kiến, nếu các bước chuẩn bị diễn ra suôn sẻ, thị trường phái sinh tại Việt Nam sẽ chính thức đi vào hoạt động kể từ năm 2014.

Trích:

http://vnexpress.net/gl/kinh-doanh/chung-khoan/2011/04/vn-se-co-thi-truong-chung-khoan-phai-sinh-vao-nam-2014/