Nhân tử chiết khấu

Trong các bài toán tài chính cơ bản mà cụ thể là bài toán chiết khấu dòng tiền trong tài chính thì công thức sau được sử dụng rất thường xuyên:

\displaystyle FV=PV(1+r)^n

Đây chính là công thức cơ bản giải thích cho khái niệm “một số tiền ngày hôm nay và cùng một số tiền đó nhưng trong một thời điểm khác thì chúng có giá trị không giống nhau”. Nguyên nhân là do các biến động liên quan đến lãi suất, lạm phát,… Trong bài viết này ta giả định rằng lãi suất trong quãng thời gian là như nhau (điều này để làm đơn giản quá trình tính toán) dù thực chất lãi suất là 1 quá trình biến đổi ngẫu nhiên không cố định mà chúng ta sẽ đề cập ở các bài viết sau.

Đối với toán tài chính thì công thức này vẫn được sử dụng rất phổ biến. Tuy nhiên khi tìm hiểu sâu về toán tài chính thì người ta ít sử dụng nhân tử \displaystyle (1+i)^n mà thay vào đó là việc sử dụng số \displaystyle e bằng cách ghép lãi liên tục, từng tuần thậm chí từng ngày hoặc từng giờ!!! Ký hiệu về nhân tử chiết khấu liên biểu diễn theo số e xuất hiện rất phổ biến trong các mô hình toán tài chính giúp đơn giản hoá các biểu thức toán học và thuận tiện trong việc tính toán, thực chất việc đưa về giải tích thông qua công cụ giới hạn chính là những ý tưởng ban đầu để xây dựng nên các công thức định giá sản phẩm tài chính …vì vậy cần lưu ý nó.

Giả sử lãi suất r% /năm, số kỳ ghép lãi trong năm là m lần khi đó nhân tử chiết khấu (sau 1 năm) sẽ là đại lượng:

\displaystyle \left(1+\frac{r}{m}\right)^m

Ta giả định rằng số kỳ ghép lãi trong năm m dần tiến dần về vô cực. Mặt khác lại có:

\displaystyle \left(1+\frac{r}{m}\right)^m = e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}}

Ta xấp xỉ :

\displaystyle e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}} \sim e^r.

Đây thực chất là hệ quả từ khai triển Taylor của hàm số \displaystyle e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}} khi \displaystyle m\to \infty

Bỏ qua sự phức tạp của đạo hàm chúng ta có một hướng chứng minh khác là dùng định lý l’Hopitals Rule. Xem lại định lý này ở đây. Thực chất ý nghĩa của định lý này là khi ta tính giới hạn của các dạng vô định như 0/0, vô cùng/vô cùng thì ta sẽ lấy đạo hàm để khử vô định.

Ta cần tính: \displaystyle \lim_{m\to \infty}{\left(1+\frac{r}{m}\right)^m}.

Đặt \displaystyle y=\left(1+\frac{r}{m}\right)^m. Khi đó ta có:

\displaystyle y=\left(1+\frac{r}{m}\right)^m\displaystyle \Leftrightarrow \ln(y)=m\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}
\displaystyle \Leftrightarrow \ln(y)=\frac{\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{1/m}

Đây là dạng tìm giới hạn vô định 0/0 để khử vô định ta lấy đạo hàm của cả tử và mẫu:

\displaystyle \lim_{m\to \infty}{\ln(y)}=\lim_{m\to \infty}{\frac{\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{1/m}}

\displaystyle=\lim_{m\to \infty}{\frac{\frac{\partial }{\partial m}\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{\frac{\partial }{\partial m}1/m}}

\displaystyle = \lim_{m\to \infty}{\frac{\frac{-r}{m(m+r)}}{{-1/m^2}}} \displaystyle = \lim_{m\to \infty}{\frac{r}{1+r/m}}=r

\displaystyle \Rightarrow \lim_{m\to \infty}y=e^r

Như vậy ta có thể kết luận khi số kỳ ghép lãi trong năm là một số m tiến đề dương vô cùng thì khi đó sau t năm ta có:

\displaystyle FV=PV e^{r\times t}

Ngược lại khi ta muốn tính hiện giá của dòng tiền, giả sử ta có FV tại thời điểm T thì giá trị PV tại thời điểm t (t<T) được tính như sau:

\displaystyle PV=FV e^{-r\times(T- t)}

Trong các bài viết tiếp theo chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu các khái niệm cũng như ký hiệu cơ bản được sử dụng trong nhập môn Toán Tài Chính. Các công cụ toán được sử dụng trong Toán tài chính tưởng chừng như rất phức tạp nhưng thực chất vẫn dựa trên các khái niệm cơ bản sau (trích Paul Wilmott – 1 trong những chuyên gia hàng đầu về Tài chính định lượng ở Mỹ):

+ Số e

+ Log – Ln

+ Kỳ vọng (expectation)

+ Khai triển Taylor – Chuỗi Taylor

“What mathematics have we seen so far? To get to (1.2) all we needed to know about are the two functions e (or exp) and log, and Taylor series. Believe it or not, you can appreciate almost all finance theory by knowing these three things together with ‘expectations’. I’m going to build up to the basic Black–Scholes and derivatives theory assuming that you know all four of these. Don’t worry if you don’t know about these things yet, take a look at Appendix A where I review these requisites and show how to interpret finance theory and practice in terms of the most elementary mathematics. Just because you can understand derivatives theory in terms of basic math doesn’t mean that you should. I hope that there’s enough in the book to please the Ph.D.s1 as well.”

Khai triển Taylor có thể tìm đọc ở đây.

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%AD_Taylor

Định lý l’Hopitals Rule

http://vi.wikipedia.org/wiki/Quy_t%E1%BA%AFc_l%27H%C3%B4pital

Posted on Tháng Sáu 14, 2012, in Nhập môn Toán Tài Chính, Tài chính định lượng and tagged , . Bookmark the permalink. 1 Phản hồi.

  1. Chào Blogger về Toán tài chánh! Bài viết hay và basic, nhưng để chứng minh lim(y) khi m –> infinity, bạn chỉ cần dùng định nghĩa của số e.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: