Sự biến đổi lãi suất

Tiếp tục với loạt bài liên quan tới nhập môn Toán tài chính hôm nay chúng ta sẽ nói về sự biến đổi của lãi suất. Thông thường lãi suất được sử dụng trong các phân tích tài chính cổ điển đó là giả định rằng lãi suất là cố định trong suốt 1 quãng thời gian, ví dụ điển hình như các mô hình chiết khấu dòng tiền DCF (discounting cash flows) hay Gordon…điều này trong thực tế hầu như không chính xác !?!

Để tiếp cận với việc mô hình hoá quá trình lãi suất thì trước tiên ta phải tiếp cận các kiến thức cơ bản liên quan đến giải tích mà cụ thể là đạo hàm, tích phân, vi phân… Nhắc lại 1 lý thuyết rất cơ bản và quan trọng của giải tích đó là:

Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyếnvới đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốctức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không cố định.

Như vậy cách tiếp cận liên quan đến sự biến đổi của lãi suất thông qua các phép toán giải tích là điều hoàn toàn tự nhiên.

Trong bài viết này chúng ta sẽ làm quen với biến động liên tục của lãi suất (Continously Varying Interest Rates) cùng với đó là 1 vài công thức biểu diễn giá trị tiền tệ dựa vào tốc độ tăng của lãi suất.

Gọi mốc thời gian hiện tại là mốc 0 và ký hiệu \displaystyle r(s) là lãi suất tại thời gian s. Khi đó nếu ta có x đồng trong ngân hàng tại thời gian s thì khi đó khoản tiền mà bạn có được trong tài khoản của mình tại mốc thời gian (s+h) với h rất nhỏ tức là \displaystyle h\to 0 là (theo công thức lãi suất với thời gian nhỏ hơn 1 năm)

\displaystyle x(1+r(s)\times h)

Đại lượng \displaystyle r(s) được gọi là spot hay lãi suất tức thời tại thời điểm s (the instantaneous interest rate at time s).

Gọi \displaystyle D(t) là khoản tiền mà bạn sẽ có trong tài khoản tại thời điểm t nếu bạn gửi 1 đồng tại thời điểm 0. Để xác định mối quan hệ giữa \displaystyle D(t)\displaystyle r(s) trong đó \displaystyle t\ge s\ge 0 ta tiến hành các bước sau. Ta có:

\displaystyle D(s+h)\approx D(s)(1+r(s)\times h)

Khai triển và biến đổi ta có:

\displaystyle \frac{ D(s+h)-D(s)}{h}\approx D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{ D(s+h)-D(s)}{(s+h)-s}\approx D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow D'(s) =D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{D'(s)}{D(s)} = r(s)

Đây thực chất là phép biến đổi của đạo hàm, tức là:

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{ D(s+h)-D(s)}{(s+h)-s}=D'(s)

Từ đó ta lấy tích phân từ 0 đến t của cả 2 vế để tìm mối quan hệ giữa D(t) và r(s).

\displaystyle \int\limits_0^{ t } {\frac{D'(s)}{D(s)}ds} \displaystyle = \int\limits_0^{ t } {r(s)ds}

\displaystyle \Leftrightarrow \ln{D(t)}-\ln{D(0)}=\int\limits_0^{ t } {r(s)ds}

Ta lại có giả thiết \displaystyle D(0)=1 từ đó ta xác định được phương trình:

\displaystyle D(t)=\exp{\left\{\int\limits_0^{ t } {r(s)ds} \right\}}

Trong đó ta ký hiệu hàm exp là hàm mũ:

\displaystyle\exp{\left\{f(x)\right\}}=e^{f(x)}

Hoàn toàn tương tự ta có công thức tổng quát hơn  cho 2 mốc thời gian bất kỳ với quá trình biến đổi của lãi suất là 1 quá trình được mô hình hoá.

Gọi \displaystyle FV_{t_1}, FV_{t_2} là giá trị tương lai tại 2 thời điểm \displaystyle t_1, t_2 trong đó \displaystyle t_1< t_2. Gọi tốc độ thay đổi của lãi theo biến thời gian là  \displaystyle \delta (r)=f(t) khi đó ta có:

\displaystyle \frac{FV_{t_2}}{FV_{t_1}}=\exp{\left\{\int\limits_{t_1}^{ t_2 } {\delta (r) dt}\right\}}

Điều đó có nghĩa là ta có thể biểu diễn giá trị tương lai của 2 giá trị tại 2 mốc thời điểm bằng việc chuyển qua tích phân và hàm tốc độ biến đổi của lãi. Vấn đề là làm sao để xác định được tốc độ thay đổi của lãi?

Giả sử một ví dụ rất đơn giản sau:

Tại năm thứ 2 ta đang có 1 khoản tiền là $10, tính giá trị tương lai của khoản tiền đó tại năm thứ 5 nếu biết tốc độ tăng của lãi theo thời gian \displaystyle \delta (r)=0,2-0,02t . Sử dụng công thức trên ta có:

\displaystyle FV_{5}=FV_{2}\times\exp{\left\{\int\limits_{2}^{ 5 } {(0,2-0,02t) dt}\right\}}

Như vậy là ta đã thấy được cách tiếp cận bằng giải tích để biểu diễn giá trị của tiền tệ theo thời gian. Một trong những yếu tố quan trọng trong phương pháp này đó là làm sao mô hình hoá được quá trình lãi suất. Vấn đề này sẽ được bàn tới trong các bài viết tiếp theo.

Posted on Tháng Sáu 16, 2012, in Nhập môn Toán Tài Chính. Bookmark the permalink. Để lại bình luận.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: