Định nghĩa về Martingale

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa liên quan tới lý thuyết Martingale. Từ đó nhắc tới một tính chất quan trọng của chuyển động Brown mà chúng ta đã có dịp làm quen ở các bài viết trước. Mục tiêu của bài viết này chỉ là giới thiệu 1 cách đơn giản và dễ hiểu nhất về khái niệm Martingale cho nên các tính chất của nó không được đề cập nhiều.

Định nghĩa 1: [Martingale] Một quá trình ngẫu nhiên \displaystyle \{X_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\} được gọi là một Martingale đối với bộ lọc \displaystyle \{\mathcal F\} và với xác suất \displaystyle P nếu:

\displaystyle X_s=E[X_t|\mathcal F_s]

Với \displaystyle P-hầu như chắc chắn và \displaystyle \forall 0\le s<t<\infty

Khái niệm \displaystyle P-hầu như chắc chắn (P-almost surely) được hiểu như sau: Cho \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P) là một không gian xác suất. Biến cố \displaystyle K trong \displaystyle \mathcal F xảy ra gần như chắc chắn nếu \displaystyle P(K)=1, điều này tương đương với biến cố \displaystyle K xảy ra gần như chắc chắn nếu xác suất biến cố \displaystyle K không xảy ra bằng \displaystyle 0. Từ đó ta có thể hiểu rằng với một bộ lọc \displaystyle \mathcal F_t ta có thể suy ra được \displaystyle X_t với một độ đo xác suất hay \displaystyle X_t là một \displaystyle \mathcal F-đo được.

Vậy rốt cuộc ý nghĩa về mặt định tính của Martingale là gì? Ở đây chúng ta làm rõ bằng một ví dụ như sau: khi quan sát một biến ngẫu nhiên \displaystyle X_t ví dụ như là quan sát giá cổ phiếu ACB, nếu \displaystyle X_t thoả tính chất của Martingale điều đó có nghĩa là muốn dự báo sự thay đổi của \displaystyle X_t trong tương lai ta hoàn toàn không thể dự đoán được với những thông tin hiện có. Nói ngắn gọn, hướng di chuyển trong tương lai của Martingale là hoàn toàn không thể dự đoán được, mặc dù Martingale cũng có thể có những khuynh hướng tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn tuy nhiên khuynh hướng này tăng hay giảm hoàn toàn ngẫu nhiên và không có tính hệ thống. Thật vậy điều này được biểu diễn dưới dạng kỳ vọng có điều kiện như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=0

Chúng ta có thể chứng minh điều trên như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-E[X_s|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-X_s=X_s-X_s=0

Điều quan trọng là Martingale luôn được định nghĩa trên một bộ lọc (một bộ thông tin) và theo một độ đo xác suất nào đó. Dự báo tốt nhất của \displaystyle X_t tại thời điểm \displaystyle s với bộ thông tin \displaystyle \mathcal F_s chính là giá trị quan sát cuối cùng \displaystyle X_s. Ngoài ra nếu \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\ge X_s khi đó đây được coi là một quá trình tăng (submartingale), ngược lại \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\le X_s được gọi là một quá trình giảm (supermartingale).

Ví dụ trong thực tế của Martingale có thể kể đến như  việc đặt cược một cách công bằng trong các trò chơi bài bạc hoặc quan sát sự biến động của giá cổ phiếu, giá vàng, các bước đi dạo ngẫu nhiên ko có xu hướng (unbiased random walk)…

Nhắc tới Martingale chúng ta cần phải nhắc tới chuyển động Brown. Một trong những tính chất quan trọng của chuyển động Brown chính là tính chất Martingale.

Định lý 1: [Tính chất Martingale của chuyển động Brown]

Với mọi \displaystyle 0\le s\le t ta luôn có:

\displaystyle E[W(t)|\mathcal F_s]=W(s)

Hoặc có thể viết lại như sau:

\displaystyle E[W(t)-W(s)|\mathcal F_s]=0

Trong bài viết tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về sự biến động ngẫu nhiên của các tài sản tài chính.

Posted on Tháng Chín 24, 2012, in Nhập môn Toán Tài Chính, Quá trình ngẫu nhiên and tagged , . Bookmark the permalink. 2 phản hồi.

  1. bạn hiện giờ đang học ở thành phố HCM à. Tôi cũng đang học quant finance, rất vui được trao đổi với bạn nếu có dịp.🙂

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: