Các bài viết cũ

Chuyển động Brown trong Toán Tài Chính

Trong các bài viết trước chúng ta đã tìm hiểu sơ qua về các khái niệm rất cơ bản liên quan tới giá trị theo thời gian của tiền tệ. Đây là những khái niệm hết sức căn bản nhưng cần thiết để có thể đọc hiểu một quyển Toán Tài Chính. Tiếp tục loạt bài viết này hôm nay chúng ta sẽ nói về một chủ đề rất quan trọng trong nhập môn Toán Tài Chính đó là “Chuyển động Brown và giải tích ngẫu nhiên”. Tất nhiên không thể nào trình bày một cách đầy đủ và bao quát hết được vì đây là 1 lĩnh vực khó, trừu tượng và thậm chí nó là 1 trong những bộ môn được nghiên cứu riêng (Brownian Motion Calculus) và áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khác như Sinh học, Vật lý… (bản thân mình viết bài này cũng đang tìm hiểu và muốn chia sẽ về một số điều mình rút ra được khi tìm hiểu về nó). Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập một số khái niệm căn bản về chuyển động Brown liên quan tới thị trường Tài chính với một cách hiểu đơn giản nhất mà không quá nặng về mặt toán học (thực tế cho thấy rằng rất nhiều tài liệu viết về chủ đề này nhưng đa phần đều được trình bày dưới các định nghĩa toán học chặt chẽ và cũng không dễ để hiểu). Trước hết chúng ta xem lại một bài viết liên quan đến chủ đề này mang tính lịch sử và định tính sau đó chúng ta sẽ chuyển qua đến lý thuyết Toán học của nó:

Chuyển động Brown và thị trường chứng khoán http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=62&News=1689&CategoryID=7

Trích kết luận của bài viết này: Những áp dụng của lý thuyết ngẫu nhiên này thực sự là rất sâu và rộng. Trong lĩnh vực kinh tế, các biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy sự đổi mới. Nếu chúng ta biết được chính xác điều gì sẽ đến thì chúng ta chả cần phải học hành hay nghiên cứu gì nữa. Ở đây không có gì đảm bảo chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết về chuyển động Brown, bởi vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng ta một cách tiếp cận dễ hiểu về sự vận động của các thị trường chứng khoán. Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta kiếm tiền dễ hơn và có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá rủi ro.

I, Quá trình Markov

Trước khi đi vào tìm hiểu về chuyển động Brown chúng ta làm quen với khái niệm quá trình Markov (Markov process). Quá trình Markov là một trường hợp riêng trong các quá trình ngẫu nhiên, quá trình này là một quá trình tại đó giá trị hiện tại (present value) của một biến liên quan tới việc dự đoán giá trị tương lai (relevant) trong khi đó các số liệu quá khứ của biến đó thì không hề liên quan (irrelevant).

Đây là cách giải thích mang tính chất định tính nhiều hơn, chúng ta sẽ không bàn nhiều về định nghĩa toán học của nó mà chỉ cần hiểu được bản chất cơ bản của nó trong bài viết này.

Ví dụ giá chứng khoán thường được giả sử là tuân theo quá trình Markov. Điều đó có nghĩa là nếu giá chứng khoán ACB ngày hôm nay là 100$ thì nếu giá của chứng khoán này tuân theo quá trình Markov thì những dự đoán của chúng ta về giá trị tương lai của chứng khoán này không bị ảnh hưởng bởi giá chứng khoán ACB cách đây 1 tuần, 1 tháng hoặc 1 năm… Giá mà chúng ta cần quan tâm chính là giá hiện tại 100$ mà thôi. Điều này cho thấy một sự trái ngược trong một mặt nào đó vì thông thường nhiều người tiến hành dự báo giá chứng khoán dựa vào số liệu chuỗi thời gian, ví dụ như phương pháp ARIMA chẳng hạn?!

Tuy nhiên các tính chất thống kê của giá chứng khoán ACB trong quá khứ có thể vẫn sẽ hữu dụng trong việc xác định quá trình ngẫu nhiên của giá chứng khoán (ví dụ như để xác định Volatility – độ giao động)…

Quay lại với quá trình Markov. Chúng ta xem xét một biến số tuân theo quá trình ngẫu nhiên Markov. Giả sử rằng giá trị hiện tại của biến số đó là 10 và sự thay đổi trong giá trị của biến số đó trong suốt 1 năm tuân theo phân phối chuẩn $\displaystyle N(0,1)$ . Câu hỏi đặt ra là phân phối xác suất trong sự thay đổi giá trị của biến số đó trong vòng 2 năm sẽ là gì?

Sự thay đổi giá trị trong vòng 2 năm là tổng của hai phân phối chuẩn mà mỗi phân phối là $\displaystyle N(0,1)$ . Bởi vì biến số này tuân theo quá trình Markov nên 2 phân phối xác suất này là hoàn toàn độc lập. Khi đó cộng hai phân phối chuẩn độc lập sẽ cho ra một phân phối chuẩn có trung bình bằng tổng các trung bình và phương sai bằng tổng các phương sai. Tức là sự thay đổi trong 2 năm sẽ tuân theo phân phối chuẩn:

$\displaystyle N(0,1)+N(0,1)=N(0+0,1+1)=N(0,2)$

Tiếp tục xem xét sự thay đổi của biến số này trong vòng 6 tháng. Cùng với lập luận như ở trên. Sự thay đổi trong vòng 1 năm tương ứng với sự thay đổi trong vòng 6 tháng đầu và 6 tháng cuối. Như vậy sự thay đổi này tuân theo phân phối chuẩn $\displaystyle N(0,0.5)$ . Tương tự trong 3 tháng sẽ là $\displaystyle N(0,0.25)$ . Một cách tổng quát:

Sự thay đổi trong suốt một quãng thời gian có độ dài T là một phân phối chuẩn $\displaystyle N(0,T)$ . (Đang bổ sung)

II, Chuyển động Brown

Chúng ta quay lại định nghĩa về mặt toán học của chuyển động Brown. Chuyển động Brown hay quá trình Wiener được ký hiệu là $\displaystyle W(t)$ . Quá trình Wiener $\displaystyle W(t)$ thoả mãn các tính chất sau:

$\displaystyle\ast W(0)=0$ (1)

$\displaystyle\ast W(t)$ là biến số liên tục theo thời gian t. (2)

$\displaystyle\ast$ Sự thay đổi $\displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t)$ (với $\displaystyle 0\le s,t$ ). (3)

$\displaystyle\ast W(t+s)-W(s)$ độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s. (4)

Trong đó ta ký hiệu: $\displaystyle N(\mu ,\sigma ^2)$ biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình μ và phương sai σ².

Ta có thể mô phỏng tính chất của chuyển động Brown thông qua đồ thị dưới đây. Trích từ “Mathematical Finance. Theory, Modeling, Implementation” của Christian Fries.

Chúng ta sẽ phân tích một chút về các khái niệm trên:

(1) chỉ mang tính chất chuẩn hoá có nghĩa là để làm đơn giản hoá quá trình mà không làm thay đổi tính chất của nó ta chuẩn hoá giá trị ban đầu bằng một hằng số. Thực chất sự chuẩn hoá không phải là một khái niệm mới, trong chương trình THPT thì chuẩn hoá được sử dụng khá nhiều đặc biệt là trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng thuần nhất.

(2) thoả mãn tính chất liên tục của chuyển động Brown, trong quá trình liên tục thì đòi hỏi $\displaystyle W(t)$ phải liên tục theo thời gian.

(3) là một ứng dụng của định lý Giới hạn trung tâm (The Central Limit Theorem). Hiểu đơn giản thì định lý này có nghĩa là tổng của nhiều biến ngẫu nhiên có cùng một phân phối sẽ là một phân phối chuẩn ngay cả khi các biến độc lập trong đó không phải là phân phối chuẩn. Nhắc lại định lý này như sau:

Định lý giới hạn trung tâm

Cho $\displaystyle X_1,X_2,...$ là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, có cùng phân phối D và độc lập lẫn nhau. Giả sử giá trị kỳ vọng $\displaystyle \mu$ và độ lệch chuẩn $\displaystyle \sigma$ của phân phối D là tồn tại và hữu hạn ( $\displaystyle \sigma\neq 0$ ). Xét tổng $\displaystyle S_n=X_1+X_2+...+X_n$ . Ta có $\displaystyle S_n$ có kỳ vọng là $\displaystyle n\mu$ và độ lệch chuẩn $\displaystyle \sigma \sqrt{n}$ . Khi đó, phân phối của $\displaystyle S_n$ hội tụ về phân phối chuẩn $\displaystyle N(n\mu,\sigma^2n)$ khi n tiến về vô cùng.

Đây cũng là một trong những định lý quan trọng bậc nhất của xác suất được áp dụng nhiều trong lĩnh vực tài chính. Ta quay lại với (3). Ý tưởng này xuất phát từ việc chuyển động của biến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ $s$ đến $(t+s)$ , độ dài thời gian là $(t+s)-s=t$ . Ta chia nhỏ các khoảng thời gian thành K bước chuyển động độc lập (K là số tự nhiên). Mỗi bước chuyển động ứng với thời gian $(t/K)$ . Khi $\displaystyle K\to \infty$ thì theo định lý Giới hạn trung tâm thì tổng của K biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối xác suất tiến tới một phân phối chuẩn (Normal Distribution) sau khi đã chuẩn hoá. Đôi khi trong một số tài liệu (3) được biểu diễn dưới dạng: Sự thay đổi $\displaystyle W(t)-W(s) \sim N(0,t-s)$ (với $\displaystyle 0\le s< t$ ). Cách biểu diễn này thực chất là một.

(4) Tính chất này tương tự quá trình Markov đã nói ở phần 1. Các bước chuyển động trong tương lai không phụ thuộc vào những gì đã xảy ra trong quá khứ.

Ở phần trên chúng ta sử dụng tên gọi “quá trình Wiener” thay vì sử dụng tên gọi “chuyển động Brown”. Tại sao lại có sự thay đổi này. Thực chất trong nhiều tài liệu thì định nghĩa một quá trình Wiener có $\displaystyle W(t)$ là một Martingle (chúng ta sẽ nói về chủ đề này trong các bài viết sau) trong khi trong chuyển động Brown thì không có giả thiết đó mà giả định có quy luật phân phối chuẩn. Hai quá trình này có rất nhiều điểm khác biệt, ta có thể nghĩ rằng quá trình Wiener tổng quát hơn chuyển động Brown vì nó không xét đến quy luật phân phối nhưng thực chất theo định lý Lévy thì hai quá trình này không có sự khác biệt

Định lý đó như sau: “mọi quá trình Wiener $\displaystyle W(t)$ liên quan đến tập thông tin $\displaystyle I(t)$ đều là chuyển động Brown”. Như vậy hai định lý này là tương đương.

Quá trình Wiener thích hợp để mô tả sự thay đổi có tính liên tục của các biến ngẫu nhiên cơ sở như $\displaystyle W(t)$ , với khoảng thời gian quan sát dù nhỏ nhưng vẫn có thể quan sát được sự thay đổi của $\displaystyle W(t)$ , và điều này thích hợp với tính chất của các biến cố thường.

Sau đây chúng ta minh hoạ bằng một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1: Chọn một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn $\displaystyle Z\sim N(0,1)$ và $\displaystyle W(t)=Z\sqrt{t}$ . Vậy $\displaystyle W(t)$ có phải là một quá trình Wiener hay không?

Câu trả lời là không. Mặc dù $\displaystyle W(t)\sim N(0,t)$ nhưng nó không thoả mãn tất cả các tính chất của một quá trình Wiener. Ta lần lượt kiểm tra các tính chất:

* $\displaystyle W(t)$ liên tục. Điều này đúng.

* $\displaystyle W(0)=0$ . Điều này đúng.

* Tuy nhiên: $\displaystyle W(t+s)-W(s) =Z(\sqrt{t+s}-\sqrt{s})$ có phương sai $\displaystyle (\sqrt{t+s}-\sqrt{s})^2=t-2\sqrt{s(t+s)}\neq t$ . Điều này không thoả mãn tính chất $\displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t)$ .

Vậy đây không phải là một quá trình Wiener.

Ví dụ 2:

Cho $\displaystyle W_1(t)$ và $\displaystyle W_2(t)$ là các quá trình Wiener độc lập và $\displaystyle \xi$ là một tham số cố định thoả mãn $\displaystyle 0<\xi<1$ . Chứng minh rằng tổ hợp tuyến tính sau là một quá trình Wiener:

$\displaystyle X(t)=\xi W_1(t)+\sqrt{1-\xi^2} W_2(t)$

Tiếp theo chúng ta đến với định nghĩa chuyển động hình học Brown, vi phân của chuyển động Brown, quá trình Wiener tổng quát. Sau đó chúng ta sẽ nói về một ví dụ ứng dụng đơn giản liên quan tới quá trình Wiener trong biến động giá chứng khoán.(đang bổ sung)

III, Mô phỏng chuyển động Brown

Ở trên các bạn đã có dịp làm quen với các khái niệm liên quan tới chuyển động Brown tuy nhiên vẫn chưa hình dung ra cách giả lập các mô hình tài chính dựa trên lý thuyết như thế nào. Phần này sẽ giúp các bạn có một cái nhìn tổng quan về việc thiết lập mô hình. Dưới đây là ví dụ thực hành rất cơ bản bằng phần mềm Excel trong việc giả lập chuyện động của giá chứng khoán dựa trên chuyển động Brown, chú ý đây chỉ là một ví dụ đơn giản và không có nghĩa là ta luôn sử dụng mô phỏng này (có nghĩa còn nhiều mô phỏng phức tạp hơn):

http://www.youtube.com/watch?v=oOnD_S2jq4U

Ngoài ra với phần mềm MATLAB ta có thể mô phỏng bằng cách code mã lệnh sau: