Category Archives: Quản trị rủi ro

Tiếp cận ban đầu trong ước lượng độ đo rủi ro

Bài viết sau đây sẽ là tiếp nối của chuỗi bài viết về độ đo rủi ro, chúng ta sẽ làm việc với 2 vấn đề cơ bản đó là làm rõ định nghĩa về mặt toán học của độ đo rủi ro trong đó chú trọng vào vấn đề thế nào là một độ đo rủi ro Coherent (có thể tạm dịch là độ đo rủi ro “nhất quán” hoặc “chặt chẽ”) và những giả định quen thuộc xung quanh việc ước tính VaR.

I, Khái niệm về độ đo rủi ro.

Chúng ta mô hình sự bất định của thị trường Tài chính bởi không gian xác suất $\displaystyle (\Omega, \mathcal F, P)$ . Gọi M là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn (hầu chắc chắn) trong không gian xác suất $\displaystyle (\Omega, \mathcal F, P)$ nêu trên. $\displaystyle K$ là một tập con của $\displaystyle M$ . Các nhà đầu tư tham gia thị trường tài chính thông qua việc nắm giữ các danh mục danh mục đầu tư. Rủi ro tài chính của việc nắm giữ danh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hoá bởi biến ngẫu nhiên $\displaystyle X\in K$

Một độ đo rủi ra được định nghĩa là một ánh xạ từ một tập hợp các biến ngẫu nhiên tới tập các số thực $\displaystyle R$ .

Định nghĩa: Ánh xạ $\displaystyle p: K\to \mathbb{R}$ gọi là độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ $\displaystyle X$ có mức rủi ro ro $\displaystyle p(X)$ . Liên hệ với thực tiễn, trong quản trị rủi ro $\displaystyle p(X)$ có thể là một khoản dự phòng, khoản thế chấp, vốn dự trữ,…

Độ đo rủi ro giúp nhà đầu tư đo lường được mức độ rủi ro mà họ sẽ phải gánh chịu trong thời gian nắm giữ danh mục. Tuy nhiên một độ đo rủi ro như thế nào thì cung cấp cho nhà đầu tư một nguồn có cơ sở hay đáng tin cậy để thực hiện công tác quản trị rủi ro? Dưới đây chúng ta sẽ trình bày về độ đo rủi ro Coherent (độ đo rủi ro nhất quán).

II, Độ đo rủi ro Coherent

Các độ đo rủi ro Coherent (một số tài liệu dịch là các độ đo rủi ro nhất quán hoặc các độ đo rủi ro chặt chẽ) thoả mãn các tính chất sau

a, Bất biến theo phép tịnh tiến (Translation Invariance): Với mọi $\displaystyle X\in K, a\in \mathbb{R}$ khi đó:

$\displaystyle p(X+a)=p(X)-a$

b, Cộng tính dưới (Subadditivity): Với mọi $\displaystyle X_1,X_2 \in K$ khi đó:

$\displaystyle p(X_1+X_2)\le p(X_1)+p(X_2)$

c, Thuần nhất dương (Homogeneity): Với mọi $\displaystyle X\in K, b>0$ ta có:

$\displaystyle p(b.X)=b.p(X)$

d, Đơn điệu tăng (Monotonicity): Với mọi $\displaystyle X_1,X_2 \in K$ và $\displaystyle X_1\le X_2$ (hầu chắc chắn) khi đó:

$\displaystyle p(X_1)\le p(X_2)$

Ý nghĩa của các tính chất này được giải thích như sau:

a, Tính chất bất biến theo phép tính tiến: Với danh mục có độ đo rủi ro $\displaystyle p(X)$ khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị $\displaystyle a$ thì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn $\displaystyle p(X)-a$

b, Tính chất cộng tính dưới : Rủi ro của danh mục gồm nhiều yếu tố rủi ro ở đây là $\displaystyle (X_1+X_2)$ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với tổng rủi ro của các yếu tố rủi ro thành phần. Tính chất này phù hợp với lý thuyết đa dạng hoá danh mục đầu tư (diversification), nhà đầu tư không nên bỏ trứng vào 1 rổ mà phải phân bổ vào nhiều nơi khác nhau.

c, Tính chất thuần nhất dương: Đối với những danh mục có quy mô càng lớn thì độ rủi ro càng cao.

d, Tính chất đơn điệu tăng: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao.

III, Một số giả định xung quanh việc ước tính VaR:

Thông thường để thiết lập một mô hình Tài chính cần có các giả định đầu vào (input factors), đối với việc tính toán VaR chúng ta cũng cần có những giả định (assumption). Chúng ta sẽ làm quen với một số giả định thông dụng trong các mô hình tính toán VaR tham số, đối với các phương pháp tiếp cận VaR phi tham số sẽ có những đặc điểm khác mà ta sẽ bàn ở các mục sau.

1, Bước ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên $\displaystyle Y$ được định nghĩa là một bước ngẫu nhiên (Random walk) nếu $\displaystyle Y$ được biểu diễn:

$\displaystyle Y_t=Y_{t-1}+u_t$

Trong đó $\displaystyle Y_i$ biểu thị giá trị của $\displaystyle Y$ tại mốc thời gian $\displaystyle i$ và $\displaystyle u_i$ là nhiễu trắng (có trung bình bằng 0, phương sai không đổi và hiệp phương sai bằng 0). Điều đó có nghĩa là:

$\displaystyle E(u_i)=0$

$\displaystyle Var(u_i)=const$

Khi đó theo tính chất của kỳ vọng ta có:

$\displaystyle E(Y_t)=E(Y_{t-1})+E(u_t)=E(Y_{t-1})$

$\displaystyle \iff E(Y_t)=E(Y_{t-1})$

$\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1})=0$

$\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1}|\mathcal F_{t-1})=0$

Điều đó có nghĩa là quá trình ngẫu nhiên $\displaystyle \{Y_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\}$ là một Martingale. Với giả định này, chúng ta xem rằng giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ của chúng.

2, Tính dừng: Một chuỗi được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không thay đổi theo thời gian. Điều này có nghĩa là phân phối xác suất của chuỗi là không thay đổi theo thời gian. Có như vậy thì chúng ta mới thực hiện việc dự báo giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên dựa trên phân phối xác suất của nó trong một khoảng thời gian nhất định được.

3, Giá trị tài sản không âm: Giá trị của tài sản tài chính, ví dụ như giá chứng khoản, tỷ giá,… được giả sử là không âm ( $\displaystyle \ge 0$ ) tại mọi thời điểm.

4, Thời gian cố định: Với giá định này, chúng ta coi rằng điều gì đúng cho một giai đoạn thì cũng đúng cho nhiều giai đoạn khác. Ví dụ như ta xem xét sự đúng đắn trong vòng 1 tuần thì cũng có thể mở rộng thành 1 tháng, hoặc 1 năm,… Chúng ta có công thức mở rộng sau:

$\displaystyle VaR(T,\alpha)=VaR(1, \alpha)\times \sqrt{T}$

Trong đó $\displaystyle T$ viết tắt của $\displaystyle T$ ngày và $\displaystyle 1$ có nghĩa là 1 ngày. Như vậy khoảng thời gian càng lớn thì giá trị VaR càng tăng lên.

5, Phân phối chuẩn: Phân phối chuẩn (Normal Distribution) nắm giữ 1 vai trò quan trọng trong Tài chính, đây là giả thiết không chỉ của các mô hình phân tích VaR mà còn rất nhiều mô hình khác nữa. Với giả thiết này để ước lượng VaR người ta giả sử rằng chuỗi Tỷ suất sinh lợi của Tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, ngoại trừ một số phương pháp tiếp cận VaR phi tham số như mô phỏng Monte Carlo thì giả thiết này không cần thiết. Giả thiết này giúp cho quá trình tính toán VaR trở nên đơn giản hơn thông qua định lý về phân phối chuẩn đa biến, tuy nhiên ngày nay, các chuỗi lợi suất của tài sản Tài chính không phải lúc nào cũng tuân theo phân phối chuẩn và từ đó dẫn đến những ước lượng không chính xác về VaR. Để giải quyết vấn đề về phân phối biên duyên (marginal distribution) của mô hình đa biến thì công cụ Copula trong lý thuyết xác suất-thống kê là 1 sự lựa chọn đang được áp dụng trên thế giới. Vấn đề này sẽ tiếp tục được đề cập trong phần tiếp theo.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quản trị rủi ro, Tài chính định lượng

1 bình luận

Nhãn: assumption, Coherent risk

Các khái niệm xung quanh Value At Risk

Th5 9

Posted by nguyenthucvuhoang

Đã khá lâu rồi mình không có thời gian cập nhật Blog do một số vấn đề cá nhân. Trong thời gian sắp tới Blog Toán Tài Chính sẽ trình bày một loạt bài viết liên quan tới các độ đo rủi ro trong quản trị rủi ro Tài chính. Những khái niệm như Value At Risk, Expected Shortfall và hàm nối Copula (1 công cụ mới dùng trong việc xác định các độ đo rủi ro nhưng hầu như chưa được phổ biến trong các tài liệu tiếng Việt) sẽ được đề cập theo một cách tiếp cận trực quan, dễ hiểu thay vì các lý thuyết thuần toán học phức tạp.

Chủ đề của bài viết này đó là các khái niệm xung quanh Value At Risk. Với các ứng dụng trong việc tính toán các ngưỡng rủi ro của danh mục đầu tư cũng như tính toán lượng vốn yêu cầu trong hệ thống các tổ chức Tài chính.

I, Tản mạn về Value At Risk

Trong tiêu chuẩn Basel dùng để tính toán các lượng vốn quy định trong hệ thống ngân hàng, khái niệm Value at Risk đã được nhắc tới như là một công cụ được khuyến cáo để tính toán các lượng vốn theo quy định đó. Vậy rốt cuộc Value at Risk là gì? Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với các khái niệm cơ bản xung quanh Value At Risk (tạm dịch: giá trị chịu rủi ro, viết tắt: VaR). Trước khi đi vào bản chất toán học của khái niệm này chúng ta sẽ cùng hình dung bằng một số ví dụ sau:

Trong hoạt động của Ngân hàng ngoài các hoạt động cần tới sự lưu động của dòng tiền thì Ngân hàng cũng sẽ phải có một lượng dự trữ vốn nhất định vì nhiều lý do, do pháp luật quy định hoặc với các mục đích khác. Trong các mục đích đó việc dự trữ một lượng vốn để khi có những biến cố bất thường xảy ra chẳng hạn như việc kinh doanh gặp một khoản lỗ lớn khi đó Ngân hàng phải sử dụng số tiền dự trữ để giải quyết hậu quả do biến cố này gây ra. Thực tế, trước khi những độ đo rủi ro được áp dụng tại các Ngân hàng trên thế giới theo tiêu chuẩn Basel thì rất nhiều ngân hàng đã sụp đổ do không có đủ lượng vốn dự trữ cần thiết để chi trả cho khách hàng trong trường hợp họ phải chịu những khoản lỗ khổng lồ do biến động bất thường của thị trường.

Với độ đo rủi ro VaR, ngân hàng sẽ tính toán lượng dữ trữ vốn tối tiểu cần phải trong một mức độ tin cậy cố định (thông thường là 99% hoặc 95%) và trong một khoảng thời gian nhất định (ví dự như 1 ngày, 1 tuần,…) để có thể phòng ngừa những trường hợp xấu gây phá sản sao cho lượng vốn dữ trữ đó là đủ để ngân hàng sử dụng trong trường hợp bất thường xảy ra cũng như không dự trữ quá dư thừa dẫn đến nguồn vốn không thể lưu thông vào hoạt động kinh doanh dẫn đến giảm lợi nhuận. Đây là một ví dụ rất tiêu biểu để minh hoạ cho công dụng của VaR và nó cũng là một vấn đề thời sự thường được biết dưới cái tên “quản trị nguồn vốn kinh tế” (Managing Economic Capital) tập trung chủ yếu vào việc đo lường rủi ro tổng hợp (Risk aggregation) và phân bổ nguồn vốn kinh tế hợp lý (Economic Capital Allocation) .

Ví dụ thứ 2 cũng có phần tương tự ví dụ trên nhưng ở một trường hợp cụ thể hơn. Nhà đầu tư nắm giữ một danh mục chứng khoán đang niêm yết trên sàn HOSE. Ngoài việc tính toán tỷ trọng tối ưu cho rỗ chứng khoán của mình sao cho tối đa hoá lợi nhuận, họ phải xem xét các yếu tố khác như việc với danh mục đó thì khả năng thua lỗ trong 1 ngày là bao nhiêu và họ cần đầu tư như thế nào để nếu rủi ro thua lỗ xảy ra họ vẫn đủ vốn dự trữ để kiểm soát tình hình. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra khả năng thua lỗ trong 1 ngày có thể là bao nhiêu? Giả sử số tiền đầu tư là 1 tỷ VND. Nếu nói có thể mất toàn bộ số tiền đầu tư thì ai cũng có thể nói được, đương nhiên điều này hiếm khi xảy ra (nhưng không phải không thể xảy ra!!!). Câu trả lời hợp lý nhất có thể là một con số cụ thể, ví dụ như 250 triệu VDN với độ tin cậy 99%. Đó chính là ví dụ về VaR.

Ứng dụng của VaR không chỉ dừng lại ở đó mà còn nhiều lĩnh vực khác nữa tuy nhiên trong phạm vi bài viết này, chúng ta sẽ tập trung chính vào việc định nghĩa VaR cho danh mục đầu tư gồm các tài sản tài chính quen thuộc ví dụ như cổ phiếu. Đối với những sản phẩm tài chính phức tạp hơn như danh mục kết hợp giữa cổ phiếu và các sản phẩm phái sinh sẽ được đề cập trong các bài viết về sau.

II, Định nghĩa về VaR

Giả sử nhà đầu tư nắm giữ mô hình gồm n cổ phiếu. Đặt $\displaystyle P_t$ là giá trị của danh mục tại thời điểm $\displaystyle t$ . Từ đó suy ra sau một khoảng thời gian $\displaystyle \Delta t$ tại thời điểm $\displaystyle g=t+\Delta t$ giá trị của danh mục sẽ là $\displaystyle P_g$ .

Từ khoảng thời gian từ thời điểm $\displaystyle t$ đến $\displaystyle g$ giá trị của danh mục đã thay đổi một khoản trị giá $\displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t$ . Ta có $\displaystyle P_t$ là một giá trị ngẫu nhiên suy ra $\displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t$ cũng là một biến ngẫu nhiên. Gọi $\displaystyle F$ là hàm phân phối xác suất của $\displaystyle \Delta P_g$ . Khi đó với mức ý nghĩa cho trước $\displaystyle \alpha\in (0,1)$ ta xem xét xác suất:

$\displaystyle P(\Delta P_g<x_{\alpha})=\alpha$

Giá trị $\displaystyle x_{\alpha}$ là phân vị mức $\displaystyle \alpha$ của hàm phân bố $\displaystyle F$ , ngưỡng giá trị âm này chính là VaR.

Ta có định nghĩa về VaR như sau: Value At Risk là một thước đo rủi ro thị trường. Nó là một khoản lỗ tối đa mà doanh nghiệp có khả năng gặp phải tương ứng với một mức độ tin cậy và một khoảng thời gian cho trước.

Như vậy VaR của một danh mục tương ứng với chu kỳ $\displaystyle g$ và độ tin cậy $\displaystyle \gamma=1-\alpha$ là mức phân vị $\displaystyle \alpha$ của hàm phân bố $\displaystyle F$ . Ta ký hiệu là $\displaystyle VaR_{g,\alpha}$ . Biểu diễn bằng công thức xác suất là:

$\displaystyle P(\Delta P_g<VaR_{g,\alpha})=\alpha$

Có thể hiểu công thức trên một cách trực quan như sau: Ví dụ $\displaystyle \alpha=5\%$ khi đó khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ không vượt quá $\displaystyle VaR_{g,\alpha}$ (khoản lỗ tối đa) trong khoảng thời gian $\displaystyle g$ là $\displaystyle 95\%$ . Hoặc cũng có thể nói khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ lớn hơn $\displaystyle VaR_{g,\alpha}$ (khoản lỗ tối thiểu) trong khoảng thời gian $\displaystyle g$ là $\displaystyle 5\%$ . Chú ý rằng trong trường hợp này ta coi $\displaystyle VaR<0$ (thực chất tuỳ theo cách biểu diễn mà VaR nhận giá trị âm hay dương tuy nhiên để thống nhất trong suốt phần còn lại của loạt bài viết về độ đo rủi ro này, chúng ta xem VaR là một số âm, biểu diễn một khoản lỗ tiềm năng).

Ví dụ ta tính toán được $\displaystyle VaR=-1$ , giả sử khoản lỗ $\displaystyle L_1=-0.5$ và $\displaystyle L_2=-2$ . Khi đó với $\displaystyle \alpha=5\%$ và $\displaystyle g=1$ ta có thể biểu diễn:

$\displaystyle P(L_1>VaR_{1,\alpha})=95\% \iff P(L_1>-1)=95\%$

Mặt khác $\displaystyle L_2=-2<VaR$ ta cũng có thể biểu diễn:

$\displaystyle P(L_2<VaR_{1,\alpha})=5\% \iff P(L_2<-1)=5\%$

Ta quay lại ví dụ này và xét ở một góc độ tổng quát hơn. Đặt $\displaystyle r_i$ là tỷ suất sinh lợi (TSSL) của 1 tài sản tài chính. Hãy xem biểu đồ ở trên và hình dung như sau:

Trường hợp $\displaystyle r_i<VaR<0$ có nghĩa là khả năng để nhà đầu tư chịu lỗ vượt quá VaR sẽ là mức ý nghĩa $\displaystyle \alpha$ ví dụ như là $\displaystyle 5\%$ , thuộc phần đuôi bên trái của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối thiểu ứng với mức ý nghĩa $\displaystyle \alpha$ . Ta biểu diễn bằng công thức xác suất:

$\displaystyle P(r_i<VaR_{t,\alpha})=\alpha$

Trường hợp $\displaystyle VaR<r_i$ khi đó khả năng nhà đầu tư chịu lỗ hoặc hưởng lợi nhuận sẽ là độ tin cậy $\displaystyle (1-\alpha)$ ví dụ như là $\displaystyle (1-5\%)=95\%$ tính từ mức phân vị từ VaR tới phần đuôi bên phải của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối đa ứng với độ tin cậy $\displaystyle 1-\alpha$ .Ta có thể biểu diễn bằng công thức xác suất:

$\displaystyle P(r_i>VaR_{t,\alpha})=1-\alpha$

Việc xem xét và biểu diễn dưới dạng xác suất VaR còn tuỳ thuộc vào vai trò của VaR đang thể hiện mức lời lỗ hay là chi phí hoặc là bất kỳ một đại lượng đo lường nào khác… trong trường hợp ta muốn tính chi phí tối thiểu cho một dự án nào đó việc biểu diễn theo công thức xác suất cũng sẽ có thể thay đổi. Vì vậy không nên cố hữu trong suy nghĩ là VaR luôn là một khoản lỗ tối đa hay tối thiểu, là một số âm hay số dương… hãy phân biệt một cách linh hoạt tuỳ từng tình huống.

Ở các bài viết tiếp theo chúng ta sẽ trình bày rõ hơn về các cách tính toán VaR trên một danh mục đầu tư và các giả định của các mô hình đó lường đó.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quản trị rủi ro

2 bình luận

Nhãn: copula, expected shortfall, risk measur, VaR

BLOG TOÁN TÀI CHÍNH

TOÁN TÀI CHÍNH – QUẢN TRỊ RỦI RO

Category Archives: Quản trị rủi ro

Tiếp cận ban đầu trong ước lượng độ đo rủi ro

Các khái niệm xung quanh Value At Risk

Bài viết mới

Lưu trữ

Các chủ đề

Meta