Category Archives: Nhập môn Toán Tài Chính

Tiếp cận ban đầu trong ước lượng độ đo rủi ro

Th7 2

Posted by

ImageBài viết sau đây sẽ là tiếp nối của chuỗi bài viết về độ đo rủi ro, chúng ta sẽ làm việc với 2 vấn đề cơ bản đó là làm rõ định nghĩa về mặt toán học của độ đo rủi ro trong đó chú trọng vào vấn đề thế nào là một độ đo rủi ro Coherent (có thể tạm dịch là độ đo rủi ro “nhất quán” hoặc “chặt chẽ”) và những giả định quen thuộc xung quanh việc ước tính VaR.

I, Khái niệm về độ đo rủi ro.

Chúng ta mô hình sự bất định của thị trường Tài chính bởi không gian xác suất \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P). Gọi M là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn (hầu chắc chắn) trong không gian xác suất \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P) nêu trên. \displaystyle K là một tập con của \displaystyle M. Các nhà đầu tư tham gia thị trường tài chính thông qua việc nắm giữ các danh mục danh mục đầu tư. Rủi ro tài chính của việc nắm giữ danh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hoá bởi biến ngẫu nhiên \displaystyle X\in K

Một độ đo rủi ra được định nghĩa là một ánh xạ từ một tập hợp các biến ngẫu nhiên tới tập các số thực \displaystyle R.

Định nghĩa: Ánh xạ \displaystyle p: K\to \mathbb{R} gọi là độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ \displaystyle X có mức rủi ro ro \displaystyle p(X). Liên hệ với thực tiễn, trong quản trị rủi ro \displaystyle p(X) có thể là một khoản dự phòng, khoản thế chấp, vốn dự trữ,…

Độ đo rủi ro giúp nhà đầu tư đo lường được mức độ rủi ro mà họ sẽ phải gánh chịu trong thời gian nắm giữ danh mục. Tuy nhiên một độ đo rủi ro như thế nào thì cung cấp cho nhà đầu tư một nguồn có cơ sở hay đáng tin cậy để thực hiện công tác quản trị rủi ro? Dưới đây chúng ta sẽ trình bày về độ đo rủi ro Coherent (độ đo rủi ro nhất quán).

 II, Độ đo rủi ro Coherent

Các độ đo rủi ro Coherent (một số tài liệu dịch là các độ đo rủi ro nhất quán hoặc các độ đo rủi ro chặt chẽ) thoả mãn các tính chất sau

a, Bất biến theo phép tịnh tiến (Translation Invariance): Với mọi \displaystyle X\in K, a\in \mathbb{R} khi đó:

\displaystyle p(X+a)=p(X)-a

b, Cộng tính dưới (Subadditivity): Với mọi \displaystyle X_1,X_2 \in K khi đó:

\displaystyle p(X_1+X_2)\le p(X_1)+p(X_2)

c, Thuần nhất dương (Homogeneity): Với mọi \displaystyle X\in K, b>0 ta có:

\displaystyle p(b.X)=b.p(X)

d, Đơn điệu tăng (Monotonicity): Với mọi \displaystyle X_1,X_2 \in K và \displaystyle X_1\le X_2 (hầu chắc chắn) khi đó:

\displaystyle p(X_1)\le p(X_2)

Ý nghĩa của các tính chất này được giải thích như sau:

a, Tính chất bất biến theo phép tính tiến: Với danh mục có độ đo rủi ro \displaystyle p(X) khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị \displaystyle a thì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn \displaystyle p(X)-a

b, Tính chất cộng tính dưới : Rủi ro của danh mục gồm nhiều yếu tố rủi ro ở đây là \displaystyle (X_1+X_2) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với tổng rủi ro của các yếu tố rủi ro thành phần. Tính chất này phù hợp với lý thuyết đa dạng hoá danh mục đầu tư (diversification), nhà đầu tư không nên bỏ trứng vào 1 rổ mà phải phân bổ vào nhiều nơi khác nhau.

c, Tính chất thuần nhất dương: Đối với những danh mục có quy mô càng lớn thì độ rủi ro càng cao.

d, Tính chất đơn điệu tăng: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao.

III, Một số giả định xung quanh việc ước tính VaR:

Thông thường để thiết lập một mô hình Tài chính cần có các giả định đầu vào (input factors), đối với việc tính toán VaR chúng ta cũng cần có những giả định (assumption). Chúng ta sẽ làm quen với một số giả định thông dụng trong các mô hình tính toán VaR tham số, đối với các phương pháp tiếp cận VaR phi tham số sẽ có những đặc điểm khác mà ta sẽ bàn ở các mục sau.

1, Bước ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên \displaystyle Y được định nghĩa là một bước ngẫu nhiên (Random walk) nếu \displaystyle Y được biểu diễn:

\displaystyle Y_t=Y_{t-1}+u_t

Trong đó \displaystyle Y_i biểu thị giá trị của \displaystyle Y tại mốc thời gian \displaystyle i và \displaystyle u_i là nhiễu trắng (có trung bình bằng 0, phương sai không đổi và hiệp phương sai bằng 0). Điều đó có nghĩa là:

\displaystyle E(u_i)=0

\displaystyle Var(u_i)=const

Khi đó theo tính chất của kỳ vọng ta có:

\displaystyle E(Y_t)=E(Y_{t-1})+E(u_t)=E(Y_{t-1})

\displaystyle \iff E(Y_t)=E(Y_{t-1})

\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1})=0

\displaystyle \iff E(Y_t-Y_{t-1}|\mathcal F_{t-1})=0

Điều đó có nghĩa là quá trình ngẫu nhiên \displaystyle \{Y_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\} là một Martingale. Với giả định này, chúng ta xem rằng giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ của chúng.

2, Tính dừng: Một chuỗi được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không thay đổi theo thời gian. Điều này có nghĩa là phân phối xác suất của chuỗi là không thay đổi theo thời gian. Có như vậy thì chúng ta mới thực hiện việc dự báo giá trị tương lai của biến ngẫu nhiên dựa trên phân phối xác suất của nó trong một khoảng thời gian nhất định được.

3, Giá trị tài sản không âm: Giá trị của tài sản tài chính, ví dụ như giá chứng khoản, tỷ giá,… được giả sử là không âm (\displaystyle \ge 0) tại mọi thời điểm.

4, Thời gian cố định: Với giá định này, chúng ta coi rằng điều gì đúng cho một giai đoạn thì cũng đúng cho nhiều giai đoạn khác. Ví dụ như ta xem xét sự đúng đắn trong vòng 1 tuần thì cũng có thể mở rộng thành 1 tháng, hoặc 1 năm,… Chúng ta có công thức mở rộng sau:

\displaystyle VaR(T,\alpha)=VaR(1, \alpha)\times \sqrt{T}

Trong đó \displaystyle T viết tắt của \displaystyle T ngày và \displaystyle 1 có nghĩa là 1 ngày. Như vậy khoảng thời gian càng lớn thì giá trị VaR càng tăng lên.

5, Phân phối chuẩn: Phân phối chuẩn (Normal Distribution) nắm giữ 1 vai trò quan trọng trong Tài chính, đây là giả thiết không chỉ của các mô hình phân tích VaR mà còn rất nhiều mô hình khác nữa. Với giả thiết này để ước lượng VaR người ta giả sử rằng chuỗi Tỷ suất sinh lợi của Tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, ngoại trừ một số phương pháp tiếp cận VaR phi tham số như mô phỏng Monte Carlo thì giả thiết này không cần thiết. Giả thiết này giúp cho quá trình tính toán VaR trở nên đơn giản hơn thông qua định lý về phân phối chuẩn đa biến, tuy nhiên ngày nay, các chuỗi lợi suất của tài sản Tài chính không phải lúc nào cũng tuân theo phân phối chuẩn và từ đó dẫn đến những ước lượng không chính xác về VaR. Để giải quyết vấn đề về phân phối biên duyên (marginal distribution) của mô hình đa biến thì công cụ Copula trong lý thuyết xác suất-thống kê là 1 sự lựa chọn đang được áp dụng trên thế giới. Vấn đề này sẽ tiếp tục được đề cập trong phần tiếp theo.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quản trị rủi ro, Tài chính định lượng

1 bình luận

Nhãn: ,

Các khái niệm xung quanh Value At Risk

Th5 9

Posted by

Đã khá lâu rồi mình không có thời gian cập nhật Blog do một số vấn đề cá nhân. Trong thời gian sắp tới Blog Toán Tài Chính sẽ trình bày một loạt bài viết liên quan tới các độ đo rủi ro trong quản trị rủi ro Tài chính. Những khái niệm như Value At Risk, Expected Shortfall và hàm nối Copula (1 công cụ mới dùng trong việc xác định các độ đo rủi ro nhưng hầu như chưa được phổ biến trong các tài liệu tiếng Việt) sẽ được đề cập theo một cách tiếp cận trực quan, dễ hiểu thay vì các lý thuyết thuần toán học phức tạp.

Chủ đề của bài viết này đó là các khái niệm xung quanh Value At Risk. Với các ứng dụng trong việc tính toán các ngưỡng rủi ro của danh mục đầu tư cũng như tính toán lượng vốn yêu cầu trong hệ thống các tổ chức Tài chính.

 

I, Tản mạn về Value At Risk

Trong tiêu chuẩn Basel dùng để tính toán các lượng vốn quy định trong hệ thống ngân hàng, khái niệm Value at Risk đã được nhắc tới như là một công cụ được khuyến cáo để tính toán các lượng vốn theo quy định đó. Vậy rốt cuộc Value at Risk là gì?  Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với các khái niệm cơ bản xung quanh Value At Risk (tạm dịch: giá trị chịu rủi ro, viết tắt: VaR). Trước khi đi vào bản chất toán học của khái niệm này chúng ta sẽ cùng hình dung bằng một số ví dụ sau:

Trong hoạt động của Ngân hàng ngoài các hoạt động cần tới sự lưu động của dòng tiền thì Ngân hàng cũng sẽ phải có một lượng dự trữ vốn nhất định vì nhiều lý do, do pháp luật quy định hoặc với các mục đích khác. Trong các mục đích đó việc dự trữ một lượng vốn để khi có những biến cố bất thường xảy ra chẳng hạn như việc kinh doanh gặp một khoản lỗ lớn khi đó Ngân hàng phải sử dụng số tiền dự trữ để giải quyết hậu quả do biến cố này gây ra. Thực tế, trước khi những độ đo rủi ro được áp dụng tại các Ngân hàng trên thế giới theo tiêu chuẩn Basel thì rất nhiều ngân hàng đã sụp đổ do không có đủ lượng vốn dự trữ cần thiết để chi trả cho khách hàng trong trường hợp họ phải chịu những khoản lỗ khổng lồ do biến động bất thường của thị trường.

Với độ đo rủi ro VaR, ngân hàng sẽ tính toán lượng dữ trữ vốn tối tiểu cần phải trong một mức độ tin cậy cố định (thông thường là 99% hoặc 95%) và trong một khoảng thời gian nhất định (ví dự như 1 ngày, 1 tuần,…) để có thể phòng ngừa những trường hợp xấu gây phá sản sao cho lượng vốn dữ trữ đó là đủ để ngân hàng sử dụng trong trường hợp bất thường xảy ra cũng như không dự trữ quá dư thừa dẫn đến nguồn vốn không thể lưu thông vào hoạt động kinh doanh dẫn đến giảm lợi nhuận. Đây là một ví dụ rất tiêu biểu để minh hoạ cho công dụng của VaR và nó cũng là một vấn đề thời sự thường được biết dưới cái tên “quản trị nguồn vốn kinh tế” (Managing Economic Capital) tập trung chủ yếu vào việc đo lường rủi ro tổng hợp (Risk aggregation) và phân bổ nguồn vốn kinh tế hợp lý (Economic Capital Allocation) .

Ví dụ thứ 2 cũng có phần tương tự ví dụ trên nhưng ở một trường hợp cụ thể hơn. Nhà đầu tư nắm giữ một danh mục chứng khoán đang niêm yết trên sàn HOSE. Ngoài việc tính toán tỷ trọng tối ưu cho rỗ chứng khoán của mình sao cho tối đa hoá lợi nhuận, họ phải xem xét các yếu tố khác như việc với danh mục đó thì khả năng thua lỗ trong 1 ngày là bao nhiêu và họ cần đầu tư như thế nào để nếu rủi ro thua lỗ xảy ra họ vẫn đủ vốn dự trữ để kiểm soát tình hình. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra khả năng thua lỗ trong 1 ngày có thể là bao nhiêu? Giả sử số tiền đầu tư là 1 tỷ VND. Nếu nói có thể mất toàn bộ số tiền đầu tư thì ai cũng có thể nói được, đương nhiên điều này hiếm khi xảy ra (nhưng không phải không thể xảy ra!!!). Câu trả lời hợp lý nhất có thể là một con số cụ thể, ví dụ như 250 triệu VDN với độ tin cậy 99%. Đó chính là ví dụ về VaR.

Ứng dụng của VaR không chỉ dừng lại ở đó mà còn nhiều lĩnh vực khác nữa tuy nhiên trong phạm vi bài viết này, chúng ta sẽ tập trung chính vào việc định nghĩa VaR cho danh mục đầu tư gồm các tài sản tài chính quen thuộc ví dụ như cổ phiếu. Đối với những sản phẩm tài chính phức tạp hơn như danh mục kết hợp giữa cổ phiếu và các sản phẩm phái sinh sẽ được đề cập trong các bài viết về sau.

II, Định nghĩa về VaR

Giả sử nhà đầu tư nắm giữ mô hình gồm n cổ phiếu. Đặt \displaystyle P_t là giá trị của danh mục tại thời điểm \displaystyle t. Từ đó suy ra sau một khoảng thời gian \displaystyle \Delta t tại thời điểm \displaystyle g=t+\Delta t giá trị của danh mục sẽ là \displaystyle P_g.

Từ khoảng thời gian từ thời điểm \displaystyle t đến \displaystyle g giá trị của danh mục đã thay đổi một khoản trị giá \displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t. Ta có \displaystyle P_t là một giá trị ngẫu nhiên suy ra \displaystyle \Delta P_g=P_g-P_t cũng là một biến ngẫu nhiên. Gọi \displaystyle F là hàm phân phối xác suất của \displaystyle \Delta P_g. Khi đó với mức ý nghĩa cho trước \displaystyle \alpha\in (0,1) ta xem xét xác suất:

\displaystyle P(\Delta P_g<x_{\alpha})=\alpha

Giá trị \displaystyle x_{\alpha} là phân vị mức \displaystyle \alpha của hàm phân bố \displaystyle F, ngưỡng giá trị âm này chính là VaR.

Ta có định nghĩa về VaR như sau: Value At Risk là một thước đo rủi ro thị trường. Nó là một khoản lỗ tối đa mà doanh nghiệp có khả năng gặp phải tương ứng với một mức độ tin cậy và một khoảng thời gian cho trước.

Như vậy VaR của một danh mục tương ứng với chu kỳ \displaystyle g và độ tin cậy \displaystyle \gamma=1-\alpha là mức phân vị \displaystyle \alpha của hàm phân bố \displaystyle F. Ta ký hiệu là \displaystyle VaR_{g,\alpha}. Biểu diễn bằng công thức xác suất là:

\displaystyle P(\Delta P_g<VaR_{g,\alpha})=\alpha

Có thể hiểu công thức trên một cách trực quan như sau: Ví dụ \displaystyle \alpha=5\% khi đó khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ không vượt quá \displaystyle VaR_{g,\alpha} (khoản lỗ tối đa) trong khoảng thời gian \displaystyle g là \displaystyle 95\%. Hoặc cũng có thể nói khả năng để nhà đầu tư chịu một khoản lỗ lớn hơn \displaystyle VaR_{g,\alpha} (khoản lỗ tối thiểu) trong khoảng thời gian \displaystyle g là \displaystyle 5\%. Chú ý rằng trong trường hợp này ta coi \displaystyle VaR<0 (thực chất tuỳ theo cách biểu diễn mà VaR nhận giá trị âm hay dương tuy nhiên để thống nhất trong suốt phần còn lại của loạt bài viết về độ đo rủi ro này, chúng ta xem VaR là một số âm, biểu diễn một khoản lỗ tiềm năng).

Ví dụ ta tính toán được \displaystyle VaR=-1, giả sử khoản lỗ \displaystyle L_1=-0.5 và \displaystyle L_2=-2. Khi đó với \displaystyle \alpha=5\% và \displaystyle g=1 ta có thể biểu diễn:

\displaystyle P(L_1>VaR_{1,\alpha})=95\% \iff P(L_1>-1)=95\%

Mặt khác \displaystyle L_2=-2<VaR ta cũng có thể biểu diễn:

\displaystyle P(L_2<VaR_{1,\alpha})=5\% \iff P(L_2<-1)=5\%

Var1

Ta quay lại ví dụ này và xét ở một góc độ tổng quát hơn. Đặt \displaystyle r_i là tỷ suất sinh lợi (TSSL) của 1 tài sản tài chính. Hãy xem biểu đồ ở trên và hình dung như sau:

Trường hợp \displaystyle r_i<VaR<0 có nghĩa là khả năng để nhà đầu tư chịu lỗ vượt quá VaR sẽ là mức ý nghĩa \displaystyle \alpha ví dụ như là \displaystyle 5\%, thuộc phần đuôi bên trái của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối thiểu ứng với mức ý nghĩa \displaystyle \alpha. Ta biểu diễn bằng công thức xác suất:

\displaystyle P(r_i<VaR_{t,\alpha})=\alpha

Trường hợp \displaystyle VaR<r_i khi đó khả năng nhà đầu tư chịu lỗ hoặc hưởng lợi nhuận sẽ là độ tin cậy \displaystyle (1-\alpha) ví dụ như là \displaystyle (1-5\%)=95\% tính từ mức phân vị từ VaR tới phần đuôi bên phải của phân phối xác suất. Trong trường hợp này VaR sẽ là khoản lỗ tối đa ứng với độ tin cậy \displaystyle 1-\alpha.Ta có thể biểu diễn bằng công thức xác suất:

\displaystyle P(r_i>VaR_{t,\alpha})=1-\alpha

Việc xem xét và biểu diễn dưới dạng xác suất VaR còn tuỳ thuộc vào vai trò của VaR đang thể hiện mức lời lỗ hay là chi phí hoặc là bất kỳ một đại lượng đo lường nào khác… trong trường hợp ta muốn tính chi phí tối thiểu cho một dự án nào đó việc biểu diễn theo công thức xác suất cũng sẽ có thể thay đổi. Vì vậy không nên cố hữu trong suy nghĩ là VaR luôn là một khoản lỗ tối đa hay tối thiểu, là một số âm hay số dương… hãy phân biệt một cách linh hoạt tuỳ từng tình huống.

Ở các bài viết tiếp theo chúng ta sẽ trình bày rõ hơn về các cách tính toán VaR trên một danh mục đầu tư và các giả định của các mô hình đó lường đó.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quản trị rủi ro

2 bình luận

Nhãn: , , ,

Định nghĩa về Martingale

Th9 24

Posted by

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa liên quan tới lý thuyết Martingale. Từ đó nhắc tới một tính chất quan trọng của chuyển động Brown mà chúng ta đã có dịp làm quen ở các bài viết trước. Mục tiêu của bài viết này chỉ là giới thiệu 1 cách đơn giản và dễ hiểu nhất về khái niệm Martingale cho nên các tính chất của nó không được đề cập nhiều.

Định nghĩa 1: [Martingale] Một quá trình ngẫu nhiên \displaystyle \{X_t,\mathcal F; 0\le t\le \infty\} được gọi là một Martingale đối với bộ lọc \displaystyle \{\mathcal F\} và với xác suất \displaystyle P nếu:

\displaystyle X_s=E[X_t|\mathcal F_s]

Với \displaystyle P-hầu như chắc chắn và \displaystyle \forall 0\le s<t<\infty

Khái niệm \displaystyle P-hầu như chắc chắn (P-almost surely) được hiểu như sau: Cho \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P) là một không gian xác suất. Biến cố \displaystyle K trong \displaystyle \mathcal F xảy ra gần như chắc chắn nếu \displaystyle P(K)=1, điều này tương đương với biến cố \displaystyle K xảy ra gần như chắc chắn nếu xác suất biến cố \displaystyle K không xảy ra bằng \displaystyle 0. Từ đó ta có thể hiểu rằng với một bộ lọc \displaystyle \mathcal F_t ta có thể suy ra được \displaystyle X_t với một độ đo xác suất hay \displaystyle X_t là một \displaystyle \mathcal F-đo được.

Vậy rốt cuộc ý nghĩa về mặt định tính của Martingale là gì? Ở đây chúng ta làm rõ bằng một ví dụ như sau: khi quan sát một biến ngẫu nhiên \displaystyle X_t ví dụ như là quan sát giá cổ phiếu ACB, nếu \displaystyle X_t thoả tính chất của Martingale điều đó có nghĩa là muốn dự báo sự thay đổi của \displaystyle X_t trong tương lai ta hoàn toàn không thể dự đoán được với những thông tin hiện có. Nói ngắn gọn, hướng di chuyển trong tương lai của Martingale là hoàn toàn không thể dự đoán được, mặc dù Martingale cũng có thể có những khuynh hướng tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn tuy nhiên khuynh hướng này tăng hay giảm hoàn toàn ngẫu nhiên và không có tính hệ thống. Thật vậy điều này được biểu diễn dưới dạng kỳ vọng có điều kiện như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=0

Chúng ta có thể chứng minh điều trên như sau:

\displaystyle E[(X_t-X_s)|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-E[X_s|\mathcal F_s]=E[X_t|\mathcal F_s]-X_s=X_s-X_s=0

Điều quan trọng là Martingale luôn được định nghĩa trên một bộ lọc (một bộ thông tin) và theo một độ đo xác suất nào đó. Dự báo tốt nhất của \displaystyle X_t tại thời điểm \displaystyle s với bộ thông tin \displaystyle \mathcal F_s chính là giá trị quan sát cuối cùng \displaystyle X_s. Ngoài ra nếu \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\ge X_s khi đó đây được coi là một quá trình tăng (submartingale), ngược lại \displaystyle E[X_t|\mathcal F_s]\le X_s được gọi là một quá trình giảm (supermartingale).

Ví dụ trong thực tế của Martingale có thể kể đến như  việc đặt cược một cách công bằng trong các trò chơi bài bạc hoặc quan sát sự biến động của giá cổ phiếu, giá vàng, các bước đi dạo ngẫu nhiên ko có xu hướng (unbiased random walk)…

Nhắc tới Martingale chúng ta cần phải nhắc tới chuyển động Brown. Một trong những tính chất quan trọng của chuyển động Brown chính là tính chất Martingale.

Định lý 1: [Tính chất Martingale của chuyển động Brown]

Với mọi \displaystyle 0\le s\le t ta luôn có:

\displaystyle E[W(t)|\mathcal F_s]=W(s)

Hoặc có thể viết lại như sau:

\displaystyle E[W(t)-W(s)|\mathcal F_s]=0

Trong bài viết tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về sự biến động ngẫu nhiên của các tài sản tài chính.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quá trình ngẫu nhiên

2 bình luận

Nhãn: ,

Kỳ vọng có điều kiện

Th9 1

Posted by

Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với một vài khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất mà quan trọng nhất là định nghĩa về kỳ vọng có điều kiện (Conditional Expectation), một trong những  định nghĩa và tính chất quan trọng để xây dựng lý thuyết về Martingale. Lưu ý Martingale (Martingale) và PDE (Partial differential equation) là 2 phương pháp tiếp cận để định giá chứng khoán phái sinh phổ biến nhất.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm trong lý thuyết xác suất liên quan tới không gian xác suất (Probability space), lọc (Filtration), kỳ vọng có điều kiện, kỳ vọng có điều kiện cho bởi \displaystyle \sigma-đại số con,… Để tìm hiểu về các khái niệm này trước hết cần hiểu các khái niệm của hàm số như ánh xạ, ảnh ngược. Trước tiên ta sẽ nhắc lại khái niệm Ánh xạ. Về mặt toán học, ánh xạ là một khái niệm khái quát của khái niệm hàm số. Về mặt ý nghĩa ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp \displaystyle X và \displaystyle Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử \displaystyle x của tập \displaystyle X đều có một và chỉ một phần tử \displaystyle y \in Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau.

Định nghĩa 1: Ánh xạ \displaystyle f từ một tập hợp \displaystyle X vào một tập hợp \displaystyle Y (ký hiệu \displaystyle f:X \to Y) là một quy tắc cho mỗi phần tử \displaystyle x \in X tương ứng với một phần tử xác định \displaystyle y \in Y, phần tử \displaystyle y được gọi là ảnh của phần tử \displaystyle x, ký hiệu \displaystyle y=f(x).

Tập \displaystyle X được gọi là tập nguồn, tập \displaystyle Y được gọi là tập đích.

\displaystyle \diamond Với mỗi \displaystyle y \in Y, tập con của \displaystyle X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ \displaystyle f bằng \displaystyle y, được gọi là tạo ảnh của phần tử \displaystyle y qua \displaystyle f, kí hiệu là \displaystyle f^{-1}(y)

\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X | f(x)=y \}

\displaystyle \diamond Với mỗi tập con \displaystyle A \subset X, tập con của \displaystyle Y gồm các phần tử là ảnh của \displaystyle x \in A qua ánh xạ \displaystyle f được gọi là ảnh của tập \displaystyle A kí hiệu là \displaystyle f(A)

\displaystyle f(A)= \{y = f(x) , x \in A \}

\displaystyle \diamond Với mỗi tập con \displaystyle B \subset Y, tập con của \displaystyle X gồm các phần tử \displaystyle x có ảnh \displaystyle f(x) \in B được gọi là tạo ảnh của tập \displaystyle B kí hiệu là \displaystyle f^{-1}(B)

\displaystyle f^{-1}(B) = \{x \in X: f(x)\in B\}

Quay trở lại với lý thuyết xác suất, giả sử có một biến ngẫu nhiên \displaystyle X. Chúng ta giả sử có nhiều tình huống khác nhau có thể xảy ra và trong mỗi tình huống thì \displaystyle X sẽ nhận được một giá trị nào đó. Như vậy một biến ngẫu nhiên có thể được mô hình hoá bằng một hàm số \displaystyle X:\Omega\to \mathbb{R}. Ở đây \displaystyle \Omega là không gian đại diện cho các tình huống có thể xảy ra. Điều này hiểu theo ý nghĩa của ánh xạ thì có nghĩa là ứng với mỗi trường hợp trong tập hợp \displaystyle \Omega thì nó sẽ nhận một giá trị nào đó mà giá trị đó là một số thực.

Định nghĩa 2. Cho \displaystyle \Omega là ký hiệu của một tập hợp và \displaystyle \mathcal F ký hiệu một họ các tập con của \displaystyle \Omega. Khi đó \displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số nếu:

1. \displaystyle \varnothing \notin \mathcal F

2. \displaystyle F \in \mathcal F \Rightarrow \Omega / F \in \mathcal F

3. \displaystyle F_1, F_2,... \in \mathcal F\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} F_i \in \mathcal F

Khi đó cặp \displaystyle (\Omega,\mathcal F) là một không gian đo được.

Không gian mẫu \displaystyle \Omega là một tập không rỗng, với các phần tử thường được biết như là các “kết quả” hay “trạng thái tự nhiên” (ví dụ trạng thái sấp hay ngửa của đồng tiền,…) hay nói một cách khác là các tình huống có thể xảy ra. Một trạng thái tự nhiên luôn tồn tại với một xác suất nào đó. Một phần tử của \displaystyle \Omega thường được ký hiệu bởi \displaystyle \omega .

\displaystyle \mathcal F là một tập hợp mà các phần tử của nó được gọi là các biến cố. Các biến cố là các tập con của \displaystyle \Omega. Tập \displaystyle \mathcal F phải thỏa mãn một vài điều kiện, đặc biết nó phải là một \displaystyle \sigma-đại số. Cùng với nhau, \displaystyle \Omega và \displaystyle \mathcal F tạo thành một không gian đo được. Một biến cố là một tập hợp các kết quả hay trạng thái tự nhiên mà ta có thể xác định xác suất của nó.

Một cách trực quan hơn ta định nghĩa một không gian xác suất là một bộ ba \displaystyle (\Omega, \mathcal F, P), trong đó:

\displaystyle \Omega là tập không rỗng, hay còn gọi là không gian mẫu, trong đó mỗi thành viên của nó được coi là một kết quả có thể xảy ra của một thực nghiệm ngẫu nhiên. Ví dụ, nếu chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng trong các khách hàng của cửa hàng ABC và hỏi họ sẽ chọn loại nước uống nào để sử dụng, thì tập 100 khách hàng đó sẽ là không gian mẫu \displaystyle \Omega.

\displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số của các tập con của \displaystyle \Omega,các khách hàng của nó được gọi là các biến cố. Ví dụ, tập tất cả các chuỗi gồm 100 khách hàng trong đó ít nhất 70 người sẽ chọn Peppsi là sản phẩm họ muốn sử dụng được xem là biến cố rằng ít nhất 70 trong số 100 khách hàng được chọn sẽ lựa chọn Peppsi. Ta nói \displaystyle \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số có nghĩa rằng, theo định nghĩa, nó chứa \displaystyle \Omega, chứa rỗng, phần bù của một biến cố bất kì là một biến cố, và hợp của một chuỗi (hữu hạn hay vô hạn đếm được) các biến cố bất kì là một biến cố.

\displaystyle P là một độ đo (cụ thể là độ đo xác suất) trên \displaystyle \mathcal F, sao cho \displaystyle P(\Omega)=1. Cần chú ý rằng \displaystyle P là hàm xác định trên \displaystyle \mathcal F chứ không phải trên \displaystyle \Omega.

Một biến ngẫu nhiên \displaystyle X là một measurable function (hàm đo được) trên \displaystyle \Omega. Ví dụ, số khách hàng sẽ lựa chọn Peppsi trong mẫu 100 người là một biến ngẫu nhiên. Nếu \displaystyle X là biến ngẫu nhiên bất kì. Ta kí hiệu \displaystyle P(X \ge 70), hay \displaystyle P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 70 \}), là xác suất của biến cố \displaystyle X \ge 70.

Định nghĩa 3:Cho \displaystyle (\Omega,\mathcal F) kỳ hiệu là một không gian đo được. Một họ các \displaystyle \sigma-đại số \displaystyle \{ \mathcal F_t|t\ge 0\}, tại đó:

\displaystyle \mathcal F_s\subseteq \mathcal F_t \subseteq \mathcal F

Với \displaystyle 0\le s\le t được gọi là một lọc trên \displaystyle (\Omega,\mathcal F)

Một lọc \displaystyle \mathcal F_t là tập hợp của tất cả các biến cố có thể thực hiện được tại \displaystyle t. Sự gia tăng kích cỡ của \displaystyle \mathcal F_t khi thời gian \displaystyle t tăng phản ánh lượng thông tin luỹ tiến theo thời gian, điều đó có nghĩa là lượng thông tin càng tăng nếu thời gian càng dài.

Ở trên chúng ta đã định nghĩa được thế nào là một biến ngẫu nhiên, thế nào là một không gian đo được và thế nào là một lọc cũng như \displaystyle \sigma-đại số con. Phần tiếp theo dưới đây, chúng ta làm quen khái niệm “kỳ vọng có điều kiện của X, theo một tập thông tin đã cho, dưới dạng một \displaystyle \sigma-đại số con \displaystyle \mathcal A của \displaystyle \mathcal F“.

Quay trở lại định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X cho bởi Y: \displaystyle E(X|Y). Chú ý rằng \displaystyle E(X|Y) là một hằng số trên mỗi tập hợp \displaystyle \{Y=y_i\} và giá trị của nó bằng giá trị trung bình của \displaystyle X trên \displaystyle \{Y=y_i\}.

\displaystyle E(X|Y)=\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)

Điều đó có nghĩa là:

\displaystyle \diamond Kỳ vọng có điều kiện là một biến ngẫu nhiên.

\displaystyle \diamond Kỳ vọng có điều kiện là một ước lượng giá trị trung bình.

Định nghĩa 4: Cho \displaystyle (\Omega,\mathcal F) kỳ hiệu là một không gian đo được. \displaystyle X:\Omega\to \mathbb{R} là một biến ngẫu nhiên. \displaystyle \mathcal A\subset \mathcal F là một \displaystyle \sigma-đại số con. Cho biến ngẫu nhiên \displaystyle Z:\Omega\to \mathbb{R} thoả mãn các điều kiện sau:

1. \displaystyle Z là \displaystyle \mathcal A-đo được: Với \displaystyle a,b\in \mathbb{R}, biến cố của Z được biểu diễn dưới dạng:

\displaystyle \{\omega|a<Z(\omega)<b\}

đã chứa trong \displaystyle \mathcal A (không chỉ đơn thuần là chứa trong \displaystyle \mathcal F).

2. Với mọi \displaystyle A\in \mathcal A khi đó:

\displaystyle E(X.I_A)=E(Z.I_A)

Khi đó ta định nghĩa: \displaystyle Z=E(X|\mathcal A) và gọi đây là kỳ vọng có điều kiện của X theo \displaystyle \mathcal A

(The conditional expectation of X with respect to \displaystyle \mathcal A)

Trong đó ta định nghĩa hàm số \displaystyle I_A là còn có tên gọi là hàm chỉ báo của \displaystyle A (Indicator Function). Hàm chỉ báo \displaystyle I_A của \displaystyle A có \displaystyle I_A=1 khi \displaystyle A xảy ra và \displaystyle I_A=0 khi \displaystyle A không xảy ra.

Ta có \displaystyle \mathcal A là một trường \displaystyle \sigma-đại số hay là một \displaystyle \sigma-đại số con, khi đó \displaystyle E(X|\mathcal A) là kỳ vọng có điều kiện của X, cho bởi thông tin chứa trong \displaystyle \mathcal A. Ta vốn dĩ đã có khái niệm \displaystyle E(X|Y), vậy đối với một \displaystyle \sigma-đại số con thì vai trò của nó có gì khác biệt so với việc chỉ xét một biến ngẫu nhiên \displaystyle Y. Câu trả lời là vì một trường \displaystyle \sigma-đại số tương ứng với một lượng thông tin. Ví dụ nếu \displaystyle \mathcal A là một \displaystyle \sigma-đại số sinh bởi \displaystyle Y thì nếu ta biết thông tin về \displaystyle \mathcal A tức là ta cũng sẽ biết thông tin về \displaystyle Y. Ngoài ra \displaystyle E(X|\mathcal A) tương tự như \displaystyle E(X|Y) cũng là một biến ngẫu nhiên. Về định nghĩa sigma đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên ta có thể trình bày dưới dạng định nghĩa như sau:

Định nghĩa 5: Giả sử \displaystyle Y:\Omega\to \mathbb{R} là một biến ngẫu nhiên. Ta kỳ hiệu \displaystyle \sigma(Y) là họ tất cả các tập con của \displaystyle \Omega có dạng:

\displaystyle Y^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega: Y(\omega)=B\}

trong đó \displaystyle B là một tập Borel của \displaystyle \mathbb{R} (B\in \mathcal B(R)). Khi đó \displaystyle \sigma(Y) là một sigma đại số trên \displaystyle \Omega và ta gọi sigma đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên \displaystyle Y.

Ta quay trở lại định nghĩa 4, và tìm hiểu xem ý nghĩa của mục 4.2 là gì? Kỳ vọng có điều kiện \displaystyle E(X|Y) là một ước lượng trung bình của X trên một tập hợp nào đó, 4.2 là tổng quát của ý nghĩa đó, có nghĩa là \displaystyle E(X|\mathcal A) là một ước lượng trung bình của X trong các tập hợp thông tin của \displaystyle \mathcal A. Một câu hỏi đặt ra là ý nghĩa của \displaystyle E(X.I_A)=E(Z.I_A)? Câu hỏi này xin dành cho đọc giả trả lời. Để trả lời câu hỏi này, hãy chú ý đến 1 số tính chất quan trọng của kỳ vọng có điều kiện được chứng minh dưới đây.

Định lý 1: Cho \displaystyle X,Y là các biến ngẫu nhiên. Chứng minh rằng:

\displaystyle E(E(X|Y))=E(X)

Chứng minh: Ta có thể chứng minh như sau :

\displaystyle E(E(X|Y))=\sum_{y}E(X|Y=y).P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\left(\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)\right).P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.\frac{P[(X=x)\cap (Y=y)]}{P(Y=y)}.P(Y=y)

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.P[(X=x)\cap (Y=y)]

\displaystyle=\sum_{y}\sum_{x}x.P(Y=y|X=x).P(X=x)

\displaystyle=\sum_{x}x.P(X=x).\left(\sum_{y}P(Y=y|X=x)\right)

\displaystyle=\sum_{x}x.P(X=x)=E(X)

Điều này luôn đúng do ta có:

\displaystyle\sum_{y}P(Y=y|X=x)=1

Ngoài ra ta có định lý sau:

Định lý 2. Cho \displaystyle X,Y_i là các biến ngẫu nhiên (trong đó \displaystyle i=\bar{i,n},n>1). Chứng minh rằng:

\displaystyle E(E(X|Y_1,Y_2,...Y_n,Y_{n+1},...)|Y_1,...,Y_n)=E(X|Y_1,...,Y_n)

\displaystyle \bigtriangledown

Định lý 3. Cho \displaystyle X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Chứng minh rằng:

\displaystyle E(X|Y)=E(X)

Chứng minh: Trước hết nhắc lại bổ đề:

 Bổ đề [Quy tắc nhân của các biến cố độc lập]: Hai biến cố \displaystyle A ,B là các biến ngẫu nhiên độc lập khi và chỉ khi: \displaystyle P(A\cap B)=P(A).P(B)

Quay trở lại bài toán, từ công thức xác suất có điều kiện và bổ đề ta có:

\displaystyle P(X=x|Y=y)=\frac{P[(X=x)\cap (Y=y)]}{P(Y=y)}

\displaystyle =\frac{P(X=x).P(Y=y)}{P(Y=y)}=P(X=x)

Mặt khác lại có:

\displaystyle E(X|Y)=E(X|Y=y)=\sum_{x}x.P(X=x|Y=y)

\displaystyle =\sum_{x}x.P(X=x)=E(X)

\displaystyle \bigtriangledown

Trong một số trường hợp, khi quan sát các giá trị ngẫu nhiên của biến X từ đó chúng ta muốn dự đoán giá trị của biến ngẫu nhiên thứ 2 là Y. Kỳ hiệu \displaystyle \widehat{Y}=g(X) là giá trị dự báo của Y dựa trên X, khi đó nếu giá trị quan sát của biến \displaystyle X là \displaystyle x hay \displaystyle X=x thì \displaystyle g(x) là một giá trị dự báo của \displaystyle Y. Chúng ta muốn chọn hàm \displaystyle g sao cho \displaystyle g(X) gần với \displaystyle Y nhất. Dự báo “tốt nhất” của Y theo nghĩa để cho sai số bình phương trung bình \displaystyle MSE\to \min chính là \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X).

Định lý 4. Cho \displaystyle X và \displaystyle Y là các biến ngẫu nhiên. Khi đó ta luôn có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]\ge E[\left(Y-E(Y|X)\right)^2]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X)

Để chứng minh định lý trên ta sử dụng 2 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Chứng minh rằng:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]=E[Y^2]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)]

Thật vậy khai triển biểu thức ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]=E[Y^2-2Y.g(X)+g^2(X)]=E[Y^2]-2E[Y.g(X)]+E[g^2(X)]

Như vậy để chứng minh bổ đề 1 thì ta chỉ cần chứng minh điều sau là đủ:

\displaystyle E[Y.g(X)]=E[g_0(X).g(X)]

Sử dụng các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

\displaystyle E[Y.g(X)]=\sum_{x}\sum_{y}Y.g(X).P(X,Y)

\displaystyle =\sum_{x}\sum_{y}Y.g(X).\left[P(X).P(Y|X)\right]=\sum_{x}g(X).P(X).\sum_{y}Y.P(Y|X)

\displaystyle =\sum_{x}P(X).\left(g(X).E[Y|X]\right)=E[g_0(X).g(X)]

Bổ đề 2: Chứng minh rằng:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]=E[Y^2]-E[g_0^2(X)]

Dễ thấy:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]=E[Y^2-2Y.g_0(X)+g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[Y.g_0(X)]+E[g_0^2(X)]

Khi đó ta có:

\displaystyle E[Y.g_0(X)]

\displaystyle =\sum_{x}\sum_{y}Y.g_0(X).P(X,Y) =\sum_{x}\sum_{y}Y.g_0(X).\left[P(X).P(Y|X)\right]

\displaystyle =\sum_{x}g_0(X).P(X).\sum_{y}Y.P(Y|X)=\sum_{x}P(X).\left(g_0(X).E[Y|X]\right)

\displaystyle =\sum_{x}P(X).\left(g_0^2(X)\right)= E[g_0^2(X)]

 Từ đó suy ra:

\displaystyle E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[Y.g_0(X)]+E[g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-2E[g_0^2(X)]+E[g_0^2(X)]

\displaystyle =E[Y^2]-E[g_0^2(X)]

Quay trở lại định lý 4, dựa vào bổ đề 1 và bổ đề 2 trừ vế theo vế ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2]-E[\left(Y-g_0(X)\right)^2]

\displaystyle =(E[Y^2]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)])-(E[Y^2]-E[g_0^2(X)])

\displaystyle =E[g_0^2(X)]-2E[g_0(X).g(X)]+E[g^2(X)]

\displaystyle =E[g_0^2(X)-2g_0(X).g(X)+g^2(X)]

\displaystyle =E\left[(g(X)-g_0(X))^2\right]\ge 0

 Ngoài cách chứng minh trên chúng ta có cách chứng minh quen thuộc sau đây:

Cách giải thứ 2:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2|X]

\displaystyle =E[\left(Y-E[Y|X]+E[Y|X]-g(X)\right)^2|X]

\displaystyle =E[\left(Y-E[Y|X]\right)^2|X]+E[\left(E[Y|X]-g(X)\right)^2|X]+2E[\left(Y-E[Y|X]).(E[Y|X]-g(X)\right)|X]

Ta xem \displaystyle E[Y|X]-g(X) như là một hằng số do đã biết \displaystyle X. Khi đó dựa theo tính chất \displaystyle E[a.Y|X]=a.E[Y|X] ta có:

\displaystyle E[\left((Y-E[Y|X]).(E[Y|X]-g(X)\right)|X]

\displaystyle \left\{E[Y|X]-g(X)\right\}.E[\left(Y-E[Y|X]\right)|X]

\displaystyle \left\{E[Y|X]-g(X)\right\}.\left(E[Y|X]-E[Y|X]\right)

\displaystyle =0

Từ đó ta có:

\displaystyle E[\left(Y-g(X)\right)^2|X]\ge E[\left(Y-E[Y|X]\right)^2|X]

Suy ra:

\displaystyle E[VT]\ge E[VP]

\displaystyle \Leftrightarrow E[\left(Y-g(X)\right)^2]\ge E[\left(Y-E(Y|X)\right)^2]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle g(X)=g_0(X)=E(Y|X)

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Tài chính định lượng

2 bình luận

Nhãn: , , , , ,

So sánh lãi đơn và lãi kép

Th8 1

Posted by

I, Đặt vấn đề

Hầu như bất kỳ một sinh viên nào (ít nhất thuộc khối ngành kinh tế) đều đã từng được làm quen với khái niệm lãi đơn và lãi kép.Hiểu đơn giản đó là giả sử ta gửi tiết kiệm 1,000$ vào ngân hàng vào ngày hôm nay, đến khi ta rút số tiền đó ra thì hẳn nhiên sẽ là một số tiền lớn hơn 1,000$ ban đầu bao gồm tiền gốc 1,000$ và lãi từ 1,000$ đô đó. (phần lãi này có thể hiểu nôm na, xem như là chi phí cơ hội hoặc cũng có thể coi là chi phí sử dụng vốn mà ngân hàng trả cho chúng ta, ở đây chúng ta đang trong vai trò người đầu tư, người cho vay và ngân hàng là người đi vay – mục đích là huy động vốn, họ sẽ dùng số tiền đó để tái đầu tư và thu lại được một khoản lợi nhuận khác… Tương tự trong các tình huống khác, chứ không nhất thiết là gửi tiết kiệm).

Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản là phần lãi sẽ chỉ tính từ vốn gốc ban đầu, trong khi lãi kép cứ sau mỗi một kỳ sẽ được cộng dồn phần lãi với phần gốc rồi tính lãi dựa trên phần tính lãi mới đó. Câu hỏi đặt ra là ta nên tính theo loại lãi nào để thu được lợi ích lớn nhất? ( Mặc dù trong thực tế lãi kép được sử dụng phổ biến chứ không phải là lãi đơn)

Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa lãi đơn và lãi kép trong ngắn hạn cũng như dài hạn trong bài viết này để làm rõ đối với mức thời gian đáo hạn nào thì sử dụng loại lãi nào sẽ mang lại lớn ích lớn hơn. Mặc dù đây không phải là một tính chất quan trọng của Toán Tài Chính (quan trọng ở đây được hiểu theo nghĩa là nó có những ứng dụng đáng kể trong lĩnh vực này) nhưng nó là một tính chất rất cơ bản mà người học nhập môn TTC nên biết. Đây cũng là lời giải của mình cho một bài tập trên lớp, môn Toán Tài Chính 1 – Đại học Kinh tế Tp HCM.

Trước hết ta nhắc lại công thức tính của 2 loại lãi suất này.

Công thức tính lãi đơn như sau: \displaystyle A_1 = X(1 + t \times i)

Công thức tính lãi kép như sau: \displaystyle A_2 = X(1 + i)^t

Trong đó:

  • \displaystyle X là khoản tiền bỏ ra đầu tư (ví dụ như một khoản tiền gửi ngân hàng – deposit).
  •  \displaystyle i là mức lãi suất thoả thuận.
  •  \displaystyle t là thời gian nhận lại khoản tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi.

Các biến này có miền xác định như sau: \displaystyle X,i,t \in \mathbb{R^+} hay \displaystyle X,i,t \in (0;+\infty)

Câu hỏi đặt ra là giá trị của \displaystyle A_1 và \displaystyle A_2 sẽ có quan hệ như thế nào với thời gian nhận lại khoản tiền đầu tư t.

\displaystyle \triangledown

II. Một số lời giải

Ta xét hai khoảng thời gian để so sánh \displaystyle A_1 và \displaystyle A_2. Dễ thấy trong ngắn hạn (dưới 1 năm) thì \displaystyle 0<t<1, trong dài hạn (trên một năm) thì \displaystyle t>1. Hiển nhiên khi \displaystyle t=1 thì \displaystyle A_1=A_2. Do \displaystyle X>0 nên để so sánh \displaystyle A_1 và \displaystyle A_2 ta chỉ cần xét hàm sau là đủ:

\displaystyle f(i,t)=(1 + i)^t-(1 + t \times i)

Cố định biến \displaystyle t ta xét đạo hàm hàm \displaystyle f(i,t) theo \displaystyle i khi đó: (Điều này hiệu quả hơn là nếu cố định \displaystyle i và lấy đạo hàm theo \displaystyle t khi đó lời giải sẽ khó hơn nhiều vì đạo hàm của hàm mũ khá phức tạp)

\displaystyle f(i,t)=f(i)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f'(i)=t(1+i)^{t-1}-t \\ f''(i)=t(t-1)(1+i)^{t-2} \end{matrix}\right.

Ta xét hai trường hợp sau:

\displaystyle \triangleright Trường hợp 1: Nếu \displaystyle t>1 khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)>0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm đồng biến. Mặt khác lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)>f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm đồng biến vì vậy

\displaystyle f(i)>f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2>A_1

\displaystyle \triangleright Trường hợp 2: Nếu \displaystyle 0<t<1 hoàn toàn tương tự với trường hợp 1, khi đó dễ thấy \displaystyle f''(i)<0 do đó \displaystyle f'(i) là một hàm nghịch biến. Lại có \displaystyle i>0 cho nên:

\displaystyle f'(i)<f'(0)=t(1+0)^{t-1}-t=0

Từ đó suy ra \displaystyle f(i) cũng là một hàm nghịch biến vì vậy

\displaystyle f(i)<f(0)=(1 + 0)^t-(1 + t \times 0)=1-1=0

Vậy trong trường hợp này: \displaystyle A_2<A_1

\displaystyle \triangledown

Ngoài cách sử dụng đạo hàm ta có thể sử dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange để giải như sau:

Định lý giá trị trung bình

Cho \displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R} là một hàm liên tục trên \displaystyle [a,b] và khả vi trên \displaystyle (a,b). Khi đó tồn tại \displaystyle c\in (a,b) sao cho:

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

Quay trở lại bài toán: Ta xét hàm \displaystyle f(k)=(1+k)^t với \displaystyle k\in (0,i) và \displaystyle i>0. Theo định lý giá trị trung bình thì tồn tại một số \displaystyle c \in (0,i) sao cho:

\displaystyle \frac{f(i)-f(0)}{i-0}=f'(c) \iff \frac{(1+i)^t-1}{i}=t\times(1+c)^{t-1}

\displaystyle \Rightarrow(1+i)^t-1=i\times t\times(1+c)^{t-1}>t\times i \Rightarrow (1+i)^t>1+t\times i

Điều trên đúng là do với \displaystyle t>1 và \displaystyle c>0 thì dễ thấy

\displaystyle (1+c)^{t-1}>1 \iff (t-1)\times \ln{(1+c)}>\ln{1}=0

Hiển nhiên đúng do hàm logarit nêpe \displaystyle \ln{x} đồng biến với mọi \displaystyle x>1.

Trường hợp \displaystyle 0<t<1 chứng minh hoàn toàn tương tự.

\displaystyle \triangledown

III. Kết luận:

Như vậy trong ngắn hạn nếu sử dụng lãi suất đơn thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi kép) còn trong dài hạn thì sử dụng lãi suất kép thì khoản tiền đầu tư sẽ sinh lời nhiều hơn (so với dùng lãi đơn).

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính

2 bình luận

Chuyển động Brown trong Toán Tài Chính

Th7 15

Posted by

Trong các bài viết trước chúng ta đã tìm hiểu sơ qua về các khái niệm rất cơ bản liên quan tới giá trị theo thời gian của tiền tệ.  Đây là những khái niệm hết sức căn bản nhưng cần thiết để có thể đọc hiểu một quyển Toán Tài Chính. Tiếp tục loạt bài viết này hôm nay chúng ta sẽ nói về một chủ đề rất quan trọng trong nhập môn Toán Tài Chính đó là “Chuyển động Brown và giải tích ngẫu nhiên”. Tất nhiên không thể nào trình bày một cách đầy đủ và bao quát hết được vì đây là 1 lĩnh vực khó, trừu tượng và thậm chí nó là 1 trong những bộ môn được nghiên cứu riêng (Brownian Motion Calculus) và áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khác như Sinh học, Vật lý… (bản thân mình viết bài này cũng đang tìm hiểu và muốn chia sẽ về một số điều mình rút ra được khi tìm hiểu về nó). Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập một số khái niệm căn bản về chuyển động Brown liên quan tới thị trường Tài chính với một cách hiểu đơn giản nhất mà không quá nặng về mặt toán học (thực tế cho thấy rằng rất nhiều tài liệu viết về chủ đề này nhưng đa phần đều được trình bày dưới các định nghĩa toán học chặt chẽ và cũng không dễ để hiểu). Trước hết chúng ta xem lại một bài viết liên quan đến chủ đề này mang tính lịch sử và định tính sau đó chúng ta sẽ chuyển qua đến lý thuyết Toán học của nó:

Chuyển động Brown và thị trường chứng khoán  http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=62&News=1689&CategoryID=7

Trích kết luận của bài viết này: Những áp dụng của lý thuyết ngẫu nhiên này thực sự là rất sâu và rộng. Trong lĩnh vực kinh tế, các biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy sự đổi mới. Nếu chúng ta biết được chính xác điều gì sẽ đến thì chúng ta chả cần phải học hành hay nghiên cứu gì nữa. Ở đây không có gì đảm bảo chúng ta sẽ thắng lớn trong một vụ buôn cổ phiếu nhờ vào hiểu biết về chuyển động Brown, bởi vì nó chỉ đơn giản là đem lại cho chúng ta một cách tiếp cận dễ hiểu về sự vận động của các thị trường chứng khoán. Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển động Brown cũng giúp chúng ta kiếm tiền dễ hơn và có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá rủi ro.

I, Quá trình Markov

Trước khi đi vào tìm hiểu về chuyển động Brown chúng ta làm quen với khái niệm quá trình Markov (Markov process). Quá trình Markov là một trường hợp riêng trong các quá trình ngẫu nhiên, quá trình này là một quá trình tại đó giá trị hiện tại (present value) của một biến liên quan tới việc dự đoán giá trị tương lai  (relevant) trong khi đó các số liệu quá khứ của biến đó thì không hề liên quan (irrelevant).

Đây là cách giải thích mang tính chất định tính nhiều hơn, chúng ta sẽ không bàn nhiều về định nghĩa toán học của nó mà chỉ cần hiểu được bản chất cơ bản của nó trong bài viết này.

Ví dụ giá chứng khoán thường được giả sử là tuân theo quá trình Markov. Điều đó có nghĩa là nếu giá chứng khoán ACB ngày hôm nay là 100$ thì nếu giá của chứng khoán này tuân theo quá trình Markov thì những dự đoán của chúng ta về giá trị tương lai của chứng khoán này không bị ảnh hưởng bởi giá chứng khoán ACB cách đây 1 tuần, 1 tháng hoặc 1 năm… Giá mà chúng ta cần quan tâm chính là giá hiện tại 100$ mà thôi. Điều này cho thấy một sự trái ngược trong một mặt nào đó vì thông thường nhiều người tiến hành dự báo giá chứng khoán dựa vào số liệu chuỗi thời gian, ví dụ như phương pháp ARIMA chẳng hạn?!

Tuy nhiên các tính chất thống kê của giá chứng khoán ACB trong quá khứ có thể vẫn sẽ hữu dụng trong việc xác định quá trình ngẫu nhiên của giá chứng khoán (ví dụ như để xác định Volatility – độ giao động)…

Quay lại với quá trình Markov. Chúng ta xem xét một biến số tuân theo quá trình ngẫu nhiên Markov. Giả sử rằng giá trị hiện tại của biến số đó là 10 và sự thay đổi trong giá trị của biến số đó trong suốt 1 năm tuân theo phân phối chuẩn \displaystyle N(0,1). Câu hỏi đặt ra là phân phối xác suất trong sự thay đổi giá trị của biến số đó trong vòng 2 năm sẽ là gì?

Sự thay đổi giá trị trong vòng 2 năm là tổng của hai phân phối chuẩn mà mỗi phân phối là \displaystyle N(0,1). Bởi vì biến số này tuân theo quá trình Markov nên 2 phân phối xác suất này là hoàn toàn độc lập. Khi đó cộng hai phân phối chuẩn độc lập sẽ cho ra một phân phối chuẩn có trung bình bằng tổng các trung bình và phương sai bằng tổng các phương sai. Tức là sự thay đổi trong 2 năm sẽ tuân theo phân phối chuẩn:

\displaystyle N(0,1)+N(0,1)=N(0+0,1+1)=N(0,2)

Tiếp tục xem xét sự thay đổi của biến số này trong vòng 6 tháng. Cùng với lập luận như ở trên. Sự thay đổi trong vòng 1 năm tương ứng với sự thay đổi trong vòng 6 tháng đầu và 6 tháng cuối. Như vậy sự thay đổi này tuân theo phân phối chuẩn \displaystyle N(0,0.5). Tương tự trong 3 tháng sẽ là \displaystyle N(0,0.25). Một cách tổng quát:

Sự thay đổi trong suốt một quãng thời gian có độ dài T là một phân phối chuẩn \displaystyle N(0,T). (Đang bổ sung)

II, Chuyển động Brown

Chúng ta quay lại định nghĩa về mặt toán học của chuyển động Brown. Chuyển động Brown hay  quá trình Wiener được ký hiệu là \displaystyle W(t). Quá trình Wiener \displaystyle W(t) thoả mãn các tính chất sau:

                                 \displaystyle\ast W(0)=0             (1)

                                 \displaystyle\ast W(t) là biến số liên tục theo thời gian t.        (2)

                                 \displaystyle\ast Sự thay đổi \displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t) (với \displaystyle 0\le s,t ).       (3)

                                 \displaystyle\ast W(t+s)-W(s) độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s.      (4)

Trong đó ta ký hiệu: \displaystyle N(\mu ,\sigma ^2) biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình μ và phương sai σ2.

Ta có thể mô phỏng tính chất của chuyển động Brown thông qua đồ thị dưới đây. Trích từ “Mathematical Finance. Theory, Modeling, Implementation” của Christian Fries.

Chúng ta sẽ phân tích một chút về các khái niệm trên:

(1) chỉ mang tính chất chuẩn hoá có nghĩa là để làm đơn giản hoá quá trình mà không làm thay đổi tính chất của nó ta chuẩn hoá giá trị ban đầu bằng một hằng số. Thực chất sự chuẩn hoá không phải là một khái niệm mới, trong chương trình THPT thì chuẩn hoá được sử dụng khá nhiều đặc biệt là trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng thuần nhất.

(2) thoả mãn tính chất liên tục của chuyển động Brown, trong quá trình liên tục thì đòi hỏi \displaystyle W(t) phải liên tục theo thời gian.

(3) là một ứng dụng của định lý Giới hạn trung tâm (The Central Limit Theorem). Hiểu đơn giản thì định lý này có nghĩa là tổng của nhiều biến ngẫu nhiên có cùng một phân phối sẽ là một phân phối chuẩn ngay cả khi các biến độc lập trong đó không phải là phân phối chuẩn. Nhắc lại định lý này như sau:

Định lý giới hạn trung tâm

Cho \displaystyle X_1,X_2,...là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, có cùng phân phối D và độc lập lẫn nhau. Giả sử giá trị kỳ vọng \displaystyle \mu và độ lệch chuẩn \displaystyle \sigma của phân phối D là tồn tại và hữu hạn (\displaystyle \sigma\neq 0). Xét tổng \displaystyle S_n=X_1+X_2+...+X_n. Ta có \displaystyle S_n có kỳ vọng là \displaystyle n\mu và độ lệch chuẩn \displaystyle \sigma \sqrt{n}. Khi đó, phân phối của \displaystyle S_n hội tụ về phân phối chuẩn \displaystyle N(n\mu,\sigma^2n)  khi n tiến về vô cùng.

Đây cũng là một trong những định lý quan trọng bậc nhất của xác suất được áp dụng nhiều trong lĩnh vực tài chính. Ta quay lại với (3). Ý tưởng này xuất phát từ việc chuyển động của biến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ s đến (t+s), độ dài thời gian là (t+s)-s=t. Ta chia nhỏ các khoảng thời gian thành K bước chuyển động độc lập (K là số tự nhiên). Mỗi bước chuyển động ứng với thời gian (t/K). Khi \displaystyle K\to \infty thì theo định lý Giới hạn trung tâm thì tổng của K biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối xác suất tiến tới một phân phối chuẩn (Normal Distribution) sau khi đã chuẩn hoá. Đôi khi trong một số tài liệu (3) được biểu diễn dưới dạng: Sự thay đổi \displaystyle W(t)-W(s) \sim N(0,t-s) (với \displaystyle 0\le s< t ). Cách biểu diễn này thực chất là một.

(4) Tính chất này tương tự quá trình Markov đã nói ở phần 1. Các bước chuyển động trong tương lai không phụ thuộc vào những gì đã xảy ra trong quá khứ.

Ở phần trên chúng ta sử dụng tên gọi “quá trình Wiener” thay vì sử dụng tên gọi “chuyển động Brown”. Tại sao lại có sự thay đổi này. Thực chất trong nhiều tài liệu thì định nghĩa một quá trình Wiener có \displaystyle W(t) là một Martingle (chúng ta sẽ nói về chủ đề này trong các bài viết sau) trong khi trong chuyển động Brown thì không có giả thiết đó mà giả định có quy luật phân phối chuẩn. Hai quá trình này có rất nhiều điểm khác biệt, ta có thể nghĩ rằng quá trình Wiener tổng quát hơn chuyển động Brown vì nó không xét đến quy luật phân phối nhưng thực chất theo định lý Lévy thì hai quá trình này không có sự khác biệt

Định lý đó như sau: “mọi quá trình Wiener \displaystyle W(t) liên quan đến tập thông tin \displaystyle I(t) đều là chuyển động Brown”. Như vậy hai định lý này là tương đương.

Quá trình Wiener thích hợp để mô tả sự thay đổi có tính liên tục của các biến ngẫu nhiên cơ sở như \displaystyle W(t), với khoảng thời gian quan sát dù nhỏ nhưng vẫn có thể quan sát được sự thay đổi của \displaystyle W(t), và điều này thích hợp với tính chất của các biến cố thường.

Sau đây chúng ta minh hoạ bằng một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1: Chọn một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn \displaystyle Z\sim N(0,1) và \displaystyle W(t)=Z\sqrt{t}. Vậy \displaystyle W(t) có phải là một quá trình Wiener hay không?

Câu trả lời là không. Mặc dù \displaystyle W(t)\sim N(0,t) nhưng nó không thoả mãn tất cả các tính chất của một quá trình Wiener. Ta lần lượt kiểm tra các tính chất:

* \displaystyle W(t) liên tục. Điều này đúng.

* \displaystyle W(0)=0. Điều này đúng.

* Tuy nhiên: \displaystyle W(t+s)-W(s) =Z(\sqrt{t+s}-\sqrt{s}) có phương sai \displaystyle (\sqrt{t+s}-\sqrt{s})^2=t-2\sqrt{s(t+s)}\neq t. Điều này không thoả mãn tính chất \displaystyle W(t+s)-W(s) \sim N(0,t).

Vậy đây không phải là một quá trình Wiener.

Ví dụ 2:

Cho \displaystyle W_1(t) và \displaystyle W_2(t) là các quá trình Wiener độc lập và \displaystyle \xi là một tham số cố định thoả mãn \displaystyle 0<\xi<1. Chứng minh rằng tổ hợp tuyến tính sau là một quá trình Wiener:

\displaystyle X(t)=\xi W_1(t)+\sqrt{1-\xi^2} W_2(t)

Tiếp theo chúng ta đến với định nghĩa chuyển động hình học Brown, vi phân của chuyển động Brown, quá trình Wiener tổng quát. Sau đó chúng ta sẽ nói về một ví dụ ứng dụng đơn giản liên quan tới quá trình Wiener trong biến động giá chứng khoán.(đang bổ sung)

III, Mô phỏng chuyển động Brown

Ở trên các bạn đã có dịp làm quen với các khái niệm liên quan tới chuyển động Brown tuy nhiên vẫn chưa hình dung ra cách giả lập các mô hình tài chính dựa trên lý thuyết như thế nào. Phần này sẽ giúp các bạn có một cái nhìn tổng quan về việc thiết lập mô hình. Dưới đây là ví dụ thực hành rất cơ bản bằng phần mềm Excel trong việc giả lập chuyện động của giá chứng khoán dựa trên chuyển động Brown, chú ý đây chỉ là một ví dụ đơn giản và không có nghĩa là ta luôn sử dụng mô phỏng này (có nghĩa còn nhiều mô phỏng phức tạp hơn):

http://www.youtube.com/watch?v=oOnD_S2jq4U

Ngoài ra với phần mềm MATLAB ta có thể mô phỏng bằng cách code mã lệnh sau:

Chạy code lệnh cho ra kết quả là đồ thị mô phỏng của chuyển động Brown.

Tài liệu tham khảo:

  1. Options, Futures and other Derivatives – John C.Hull 7th Edition.
  2. Mathematical Finance – Vol 2 – PhD. Bùi Phúc Trung.
  3. Elementary Calculus of Financial Mathematics – A. J. Roberts
  4. The Concepts and Practice of Mathematical Finance – 2nd Edition – Mark S. Joshi
  5. Paul Wilmott on Quantitative Finance – 2nd Edition

Bài viết đang trong quá trình hoàn thiện và sẽ được bổ sung trong thời gian sớm nhất có thể…

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Quá trình ngẫu nhiên

2 bình luận

Nhãn: , , , ,

Sự biến đổi lãi suất

Th6 16

Posted by

Tiếp tục với loạt bài liên quan tới nhập môn Toán tài chính hôm nay chúng ta sẽ nói về sự biến đổi của lãi suất. Thông thường lãi suất được sử dụng trong các phân tích tài chính cổ điển đó là giả định rằng lãi suất là cố định trong suốt 1 quãng thời gian, ví dụ điển hình như các mô hình chiết khấu dòng tiền DCF (discounting cash flows) hay Gordon…điều này trong thực tế hầu như không chính xác !?!

Để tiếp cận với việc mô hình hoá quá trình lãi suất thì trước tiên ta phải tiếp cận các kiến thức cơ bản liên quan đến giải tích mà cụ thể là đạo hàm, tích phân, vi phân… Nhắc lại 1 lý thuyết rất cơ bản và quan trọng của giải tích đó là:

Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyếnvới đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốctức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không cố định.

Như vậy cách tiếp cận liên quan đến sự biến đổi của lãi suất thông qua các phép toán giải tích là điều hoàn toàn tự nhiên.

Trong bài viết này chúng ta sẽ làm quen với biến động liên tục của lãi suất (Continously Varying Interest Rates) cùng với đó là 1 vài công thức biểu diễn giá trị tiền tệ dựa vào tốc độ tăng của lãi suất.

Gọi mốc thời gian hiện tại là mốc 0 và ký hiệu \displaystyle r(s) là lãi suất tại thời gian s. Khi đó nếu ta có x đồng trong ngân hàng tại thời gian s thì khi đó khoản tiền mà bạn có được trong tài khoản của mình tại mốc thời gian (s+h) với h rất nhỏ tức là \displaystyle h\to 0 là (theo công thức lãi suất với thời gian nhỏ hơn 1 năm)

\displaystyle x(1+r(s)\times h)

Đại lượng \displaystyle r(s) được gọi là spot hay lãi suất tức thời tại thời điểm s (the instantaneous interest rate at time s).

Gọi \displaystyle D(t) là khoản tiền mà bạn sẽ có trong tài khoản tại thời điểm t nếu bạn gửi 1 đồng tại thời điểm 0. Để xác định mối quan hệ giữa \displaystyle D(t) và \displaystyle r(s) trong đó \displaystyle t\ge s\ge 0 ta tiến hành các bước sau. Ta có:

\displaystyle D(s+h)\approx D(s)(1+r(s)\times h)

Khai triển và biến đổi ta có:

\displaystyle \frac{ D(s+h)-D(s)}{h}\approx D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{ D(s+h)-D(s)}{(s+h)-s}\approx D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow D'(s) =D(s)\times r(s)

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{D'(s)}{D(s)} = r(s)

Đây thực chất là phép biến đổi của đạo hàm, tức là:

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{ D(s+h)-D(s)}{(s+h)-s}=D'(s)

Từ đó ta lấy tích phân từ 0 đến t của cả 2 vế để tìm mối quan hệ giữa D(t) và r(s).

\displaystyle \int\limits_0^{ t } {\frac{D'(s)}{D(s)}ds} \displaystyle = \int\limits_0^{ t } {r(s)ds}

\displaystyle \Leftrightarrow \ln{D(t)}-\ln{D(0)}=\int\limits_0^{ t } {r(s)ds}

Ta lại có giả thiết \displaystyle D(0)=1 từ đó ta xác định được phương trình:

\displaystyle D(t)=\exp{\left\{\int\limits_0^{ t } {r(s)ds} \right\}}

Trong đó ta ký hiệu hàm exp là hàm mũ:

\displaystyle\exp{\left\{f(x)\right\}}=e^{f(x)}

Hoàn toàn tương tự ta có công thức tổng quát hơn  cho 2 mốc thời gian bất kỳ với quá trình biến đổi của lãi suất là 1 quá trình được mô hình hoá.

Gọi \displaystyle FV_{t_1}, FV_{t_2} là giá trị tương lai tại 2 thời điểm \displaystyle t_1, t_2 trong đó \displaystyle t_1< t_2. Gọi tốc độ thay đổi của lãi theo biến thời gian là  \displaystyle \delta (r)=f(t) khi đó ta có:

\displaystyle \frac{FV_{t_2}}{FV_{t_1}}=\exp{\left\{\int\limits_{t_1}^{ t_2 } {\delta (r) dt}\right\}}

Điều đó có nghĩa là ta có thể biểu diễn giá trị tương lai của 2 giá trị tại 2 mốc thời điểm bằng việc chuyển qua tích phân và hàm tốc độ biến đổi của lãi. Vấn đề là làm sao để xác định được tốc độ thay đổi của lãi?

Giả sử một ví dụ rất đơn giản sau:

Tại năm thứ 2 ta đang có 1 khoản tiền là $10, tính giá trị tương lai của khoản tiền đó tại năm thứ 5 nếu biết tốc độ tăng của lãi theo thời gian \displaystyle \delta (r)=0,2-0,02t . Sử dụng công thức trên ta có:

\displaystyle FV_{5}=FV_{2}\times\exp{\left\{\int\limits_{2}^{ 5 } {(0,2-0,02t) dt}\right\}}

Như vậy là ta đã thấy được cách tiếp cận bằng giải tích để biểu diễn giá trị của tiền tệ theo thời gian. Một trong những yếu tố quan trọng trong phương pháp này đó là làm sao mô hình hoá được quá trình lãi suất. Vấn đề này sẽ được bàn tới trong các bài viết tiếp theo.

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính

Bình luận về bài viết này

Nhân tử chiết khấu

Th6 14

Posted by

Trong các bài toán tài chính cơ bản mà cụ thể là bài toán chiết khấu dòng tiền trong tài chính thì công thức sau được sử dụng rất thường xuyên:

\displaystyle FV=PV(1+r)^n

Đây chính là công thức cơ bản giải thích cho khái niệm “một số tiền ngày hôm nay và cùng một số tiền đó nhưng trong một thời điểm khác thì chúng có giá trị không giống nhau”. Nguyên nhân là do các biến động liên quan đến lãi suất, lạm phát,… Trong bài viết này ta giả định rằng lãi suất trong quãng thời gian là như nhau (điều này để làm đơn giản quá trình tính toán) dù thực chất lãi suất là 1 quá trình biến đổi ngẫu nhiên không cố định mà chúng ta sẽ đề cập ở các bài viết sau.

Đối với toán tài chính thì công thức này vẫn được sử dụng rất phổ biến. Tuy nhiên khi tìm hiểu sâu về toán tài chính thì người ta ít sử dụng nhân tử \displaystyle (1+i)^n mà thay vào đó là việc sử dụng số \displaystyle e bằng cách ghép lãi liên tục, từng tuần thậm chí từng ngày hoặc từng giờ!!! Ký hiệu về nhân tử chiết khấu liên biểu diễn theo số e xuất hiện rất phổ biến trong các mô hình toán tài chính giúp đơn giản hoá các biểu thức toán học và thuận tiện trong việc tính toán, thực chất việc đưa về giải tích thông qua công cụ giới hạn chính là những ý tưởng ban đầu để xây dựng nên các công thức định giá sản phẩm tài chính …vì vậy cần lưu ý nó.

Giả sử lãi suất r% /năm, số kỳ ghép lãi trong năm là m lần khi đó nhân tử chiết khấu (sau 1 năm) sẽ là đại lượng:

\displaystyle \left(1+\frac{r}{m}\right)^m

Ta giả định rằng số kỳ ghép lãi trong năm m dần tiến dần về vô cực. Mặt khác lại có:

\displaystyle \left(1+\frac{r}{m}\right)^m = e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}}

Ta xấp xỉ :

\displaystyle e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}} \sim e^r.

Đây thực chất là hệ quả từ khai triển Taylor của hàm số \displaystyle e^{m\ln{(1+\frac{r}{m})}} khi \displaystyle m\to \infty

Bỏ qua sự phức tạp của đạo hàm chúng ta có một hướng chứng minh khác là dùng định lý l’Hopitals Rule. Xem lại định lý này ở đây. Thực chất ý nghĩa của định lý này là khi ta tính giới hạn của các dạng vô định như 0/0, vô cùng/vô cùng thì ta sẽ lấy đạo hàm để khử vô định.

Ta cần tính: \displaystyle \lim_{m\to \infty}{\left(1+\frac{r}{m}\right)^m}.

Đặt \displaystyle y=\left(1+\frac{r}{m}\right)^m. Khi đó ta có:

\displaystyle y=\left(1+\frac{r}{m}\right)^m\displaystyle \Leftrightarrow \ln(y)=m\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}
\displaystyle \Leftrightarrow \ln(y)=\frac{\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{1/m}

Đây là dạng tìm giới hạn vô định 0/0 để khử vô định ta lấy đạo hàm của cả tử và mẫu:

\displaystyle \lim_{m\to \infty}{\ln(y)}=\lim_{m\to \infty}{\frac{\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{1/m}}

\displaystyle=\lim_{m\to \infty}{\frac{\frac{\partial }{\partial m}\ln{\left(1+\frac{r}{m}\right)}}{\frac{\partial }{\partial m}1/m}}

\displaystyle = \lim_{m\to \infty}{\frac{\frac{-r}{m(m+r)}}{{-1/m^2}}} \displaystyle = \lim_{m\to \infty}{\frac{r}{1+r/m}}=r

\displaystyle \Rightarrow \lim_{m\to \infty}y=e^r

Như vậy ta có thể kết luận khi số kỳ ghép lãi trong năm là một số m tiến đề dương vô cùng thì khi đó sau t năm ta có:

\displaystyle FV=PV e^{r\times t}

Ngược lại khi ta muốn tính hiện giá của dòng tiền, giả sử ta có FV tại thời điểm T thì giá trị PV tại thời điểm t (t<T) được tính như sau:

\displaystyle PV=FV e^{-r\times(T- t)}

Trong các bài viết tiếp theo chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu các khái niệm cũng như ký hiệu cơ bản được sử dụng trong nhập môn Toán Tài Chính. Các công cụ toán được sử dụng trong Toán tài chính tưởng chừng như rất phức tạp nhưng thực chất vẫn dựa trên các khái niệm cơ bản sau (trích Paul Wilmott – 1 trong những chuyên gia hàng đầu về Tài chính định lượng ở Mỹ):

+ Số e

+ Log – Ln

+ Kỳ vọng (expectation)

+ Khai triển Taylor – Chuỗi Taylor

“What mathematics have we seen so far? To get to (1.2) all we needed to know about are the two functions e (or exp) and log, and Taylor series. Believe it or not, you can appreciate almost all finance theory by knowing these three things together with ‘expectations’. I’m going to build up to the basic Black–Scholes and derivatives theory assuming that you know all four of these. Don’t worry if you don’t know about these things yet, take a look at Appendix A where I review these requisites and show how to interpret finance theory and practice in terms of the most elementary mathematics. Just because you can understand derivatives theory in terms of basic math doesn’t mean that you should. I hope that there’s enough in the book to please the Ph.D.s1 as well.”

Khai triển Taylor có thể tìm đọc ở đây.

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%AD_Taylor

Định lý l’Hopitals Rule

http://vi.wikipedia.org/wiki/Quy_t%E1%BA%AFc_l%27H%C3%B4pital

Posted in Nhập môn Toán Tài Chính, Tài chính định lượng

1 bình luận

Nhãn: ,